解析卷北师大版9年级数学上册期末试题含完整答案详解（名师系列）

北师大版9年级数学上册期末试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题24分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有（）A．7人 B．6人 C．5人 D．4人2、如图，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为A（3，0），∠COA=60°，D为边AB的中点，反比例函数y=（x>0）的图象经过C，D两点，直线CD与y轴相交于点E，则点E的坐标为（

）A．（0，2） B．（0，3） C．（0，5） D．（0，6）3、如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（

）A． B． C． D．4、关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（

）A． B． C．或1 D．或45、如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是（）A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．6、如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边BC上的一个动点，OE⊥OF，交边AB于点F，点G，H分别是点E，F关于直线AC的对称点，点E从点C运动到点B时，图中阴影部分面积的大小变化是（）A．先增大后减小 B．先减小后增大C．一直不变 D．不确定二、多选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB的中点，连接AE，DF交于点N，将沿AE翻折，得到，AG交DF于点M，延长EG交AD的延长线于点H，连接CG，ME，取ME的中点为点O，连接NO，GO．则以下结论正确的有（

）A． B． C． D．2、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，CE＝2AE，则下列结论中成立的是（）A．△ABC∽△ADE B．DE∥BCC．DE：BC＝1：2 D．S△ABC＝9S△ADE3、如图，不能判定为菱形的是（

）A． B．C． D．4、平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件使得四边形ABCD是矩形的条件有（

）是菱形的条件有（

）A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=BC D．AC平分∠BAD E．AO=DO5、如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．6、如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题76分）三、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，在平面直角坐标系中，一条过原点的直线与反比例函数的图象x相交于两点，若，，则该反比例函数的表达式为______．2、如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC和CD上的点，把△CEF沿直线EF折叠得到△GEF，再把△BEG沿直线BG折叠，点E的对应点H恰好落在对角线BD上，若此时F、G、H三点在同一条直线上，且线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，则的值为______．3、菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，则该菱形的面积为________．4、如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为_______.5、如图，△ABC与△是位似图形，点是位似中心，若，，则=________．6、若函数是反比例函数，那么k的值是_____．7、如果关于的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是___________．8、两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为，的正方形拼成一个大正方形．图中的斜边的长等于________（用，的代数式表示）．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、端午节是我国的传统节日，益民食品厂为了解市民对去年销量较好的花生粽子、水果粽子、豆沙粽子、红枣粽子(分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味的粽子的喜爱情况，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？(2)将两幅统计图补充完整；(3)小明喜欢吃花生粽子和红枣粽子，妈妈为他准备了四种粽子各一个，请用“列表法”或“画树形图”的方法，求出小明同时选中花生粽子和红枣粽子的概率．2、圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．

（1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）3、解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2．4、如图1，正方形ABCD中，AB＝5，点E为BC边上一动点，连接AE，以AE为边，在线段AE右侧作正方形，连接CF、DF．设．(当点E与点B重合时，x的值为0)，．小明根据学习函数的经验，对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x与y1、y2的几组对应值；x0123455.004.123.614.125.0001.412.834.245.657.07(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，BE的长度约为cm．5、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；(2)求出△BPE周长的最小值．6、定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝8，请直接写出边AB长的最小值．

-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】设小组有x人，根据题意，得x(x-1)=30，解方程即可．【详解】设小组有x人，根据题意，得x(x-1)=30，整理，得，解方程，得(舍去)，故选B．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键．2、B【解析】【分析】作CE⊥x轴于点E，过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，设C的坐标为（x，x），表示出D的坐标，将C、D两点坐标代入反比例函数的解析式，解关于x的方程求出x即可得到点C、D的坐标，进而求得直线CD的解析式，最后计算该直线与y轴交点坐标即可得出结果．【详解】解：作CE⊥x轴于点E，则∠CEO=90°，过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，则BF=CE，DM∥BF，BF=CE，∵D为AB的中点，∴AM=FM，∴DM=BF，∵∠COA=60°，∴∠OCE=30°，∴OC=2OE，CE=OE，∴设C的坐标为（x，x），∴AF=OE=x，CE=BF=x，OE=AF=x，DM=x，∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），∴OF=3+x，OM=3+x，即D点的坐标为(3+x，)，把C、D的坐标代入y=得：k=x•x=(3+x)•，解得：x1=2，x2=0（舍去），∴C（2，2），D（4，），设直线CD解析式为：y=ax+b，则，解得，∴直线CD解析式为：，∴当x=0时，，∴点E的坐标为(0，)．故选：B．【考点】本题主要考查了平行四边形的性质、运用待定系数法求函数的解析式以及含度角的直角三角形的性质．根据反比例函数图象经过C、D两点，得出关于x的方程是解决问题的关键．3、D【解析】【分析】连接AC，BD，过点O作于点，交于点，利用勾股定理求得的长即可解题．【详解】解：如图，连接AC，BD，过点O作于点，交于点，四边形ABCD是矩形，同理可得故选：D．【考点】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．4、A【解析】【分析】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．【详解】解：∵方程有两个实数根，，∴，，∵，∴，整理得，，解得，，，若使有实数根，则，解得，，所以，故选：A．【考点】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．5、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．【详解】解：∵∠ADE＝∠B，∴故A能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；∠AED＝∠C，∴故B能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；，∴故C能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；，条件未给出，不能判定△ADE与△ABC相似，故D符合题意故选D【考点】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．6、C【解析】【分析】连接BD，证明△FOB≌△EOC，同理得到△HOD≌△GOC，即可得到答案．【详解】解：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，，∴∠BOЕ+∠EOC=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠FOB=90°，∴∠FOB=∠EOC，在△FOB和△EOC，，∴△FOB≌△EOC，同理，△HOD≌△GOC，∴图中阴影部分的面积=△ABD的面积=正方形ABCD的面积．∴阴影部分面积的大小一直不变．故选：C．【考点】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二、多选题1、ABC【解析】【详解】解：∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB=BC，∠DAB=∠B=90°，∴∠ADF+∠AFD=90°，∵点E、F分别是边BC、AB的中点,∴AF=AB，BE=EC=BC，∴AF=BE，∴△DAF≌△ABE(SAS)，∴∠BAE=∠ADF，∴∠BAE+∠AFD=90°，∴∠ANF=180°-(∠BAE+∠AFD)=90°，∴∠AND=90°，故A正确；∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，由折叠得：∠AEB=∠AEG，∴∠DAE=∠AEG，∴AH=EH，故B正确；由折叠得：∠AEB=∠AEG=(180°-∠GEC)，GE=BE=EC，∴∠EGC=∠ECG=(180°-∠GEC)，∴.∠AEB=∠GCE，∴AE∥CG,故C正确；∵O为ME中点，∴，，∴+，∵+-，且△AGE≌△DAF，∴+-，∵∠AND=90°=∠ANF，∠FAN=∠MAN，AN=AN，∴△ANF≌△ANM，∴+-，∴，只有M是边DN中点的时，D才成立，故D错误；故选A、B、C．【考点】本题考查正方形和折叠的综合应用，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理、平行线的判定等是解题关键．2、ABD【解析】【分析】由已知条件易证DE∥BC，则△ABC∽△ADE，再由相似三角形的性质即可得到问题的选项．【详解】解：∵BD=2AD，CE=2AE，∴，∴DE∥BC，故B正确；∴△ABC∽△ADE，故A正确；∴DE：BC=AD：AB=1：3，故C错误；∴S△ABC=9S△ADE故D正确，∴其中成立的jABD，故选ABD．【考点】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，证明DE∥BC是解题的关键．3、ABC【解析】【分析】根据题意先判断可以判定是菱形的条件即可．【详解】解：根据菱形的判定定理知：当∠DCA=∠BCA，∵四边形为平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，AC=AC，∴,∴BC=DC,∴▱ABCD为菱形，故其他三项不能判定，故答案选：ABC．【考点】此题考查菱形的判定定理，熟练掌握定理并应用是关键．4、AEBCD【解析】【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，要成为矩形加上一个角为直角或对角线相等即可；要使其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可．【详解】A选项：∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）B选项：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）C选项：∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．（邻边相等的平行四边形是菱形）D选项：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形；E选项：∵AO=DO，四边形ABCD是平行四边形，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．（对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形）故选：AE，BCD．【考点】考查了菱形和矩形的判定，解题关键是掌握平行四边形的性质和菱形、矩形的判定方法．5、CD【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、，两三角形对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：．【考点】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．6、BCD【解析】【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件，故A不符合题意；锐角三角形、正五边形、直角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件，故B、C、D符合题意．故选BCD．【考点】此题主要考查了相似图形判定，注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．三、填空题1、y=．【解析】【分析】由正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称，可得m2-7=2，由点A在第三象限可求m的值，即可求点A坐标，代入解析式可求解．【详解】解：∵一条过原点的直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴m2-7=2，∴m=±3，∵点A在第三象限，∴m＜0，∴m=-3，∴点A（-3，-2），∵点A在反比例函数的图象上，∴k=-3×（-2）=6，∴反比例函数的表达式为y=，故答案为：y=．【考点】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称是本题的关键．2、【解析】【分析】根据线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，可得HF=HD，由折叠和同角的余角相等得，然后证明，再利用设元法即可解决问题．【详解】解：∵线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，∴HF=HD，∴∠HFD=∠FDH，∴∠BHF=2∠HFD由折叠可知：GF=CF，HG=CE=EG，，∠BHG=∠BEG，∠CEF=∠GEF，∵∠BEG+∠CEF+∠GEF=180°，∴2∠HFD+2∠CEF=180°∴∠HFD+∠CEF=90°，又∵∠CFE+∠CEF=90°∴，又∵HF=HD，∴△DHF是等边三角形，∴∠CBD=∠CEF=30°，∴，设GF=CF=x，HF=DF=y，则HG=CE=EG=，HF=HG+GF=GE+CF，即y=x+，∵，∴.【考点】本题主要考查折叠的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握翻折的性质．3、24【解析】【分析】利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．【详解】解：x2-8x+15=0，（x-3）（x-5）=0，x-3=0或x-5=0，∴x1=3，x2=5，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∵菱形的另一条对角线长=2×=6，∴菱形的面积=×6×8=24．故答案为：24．【考点】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．4、（12-x）（8-x）=77【解析】【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．【详解】道路的宽为x米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，故答案为(12-x)(8-x)=77.【考点】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．5、16【解析】【分析】题干已知△ABC与△是位似图形，利用面积相似比进行分析求解.【详解】解：△ABC与△是位似图形，得到,利用相似图形，面积比即是对应线段比的平方比得到，由，得到=16.【考点】本题考查位似图形，利用相似图形的面积比即是对应线段比的平方比，从而分析求解.6、0【解析】【分析】直接利用反比例函数的定义得出答案．【详解】∵函数是反比例函数，∴k2﹣3k﹣1＝﹣1且3﹣k≠0，解得：k1＝0，k2＝3，（不合题意舍去）∴k=0．故答案为：0．【考点】本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义，是解题的关键．7、【解析】【分析】根据关于的一元二次方程的一个解是，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入，即可解答本题．【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是，，，．故答案为：2020．【考点】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．8、【解析】【分析】根据题意及勾股定理可得BC2=；又因Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，根据射影定理可得BC2=a•AB，由此即可解答．【详解】根据题意及勾股定理可得：BC2=；由题意可得：Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，∴BC2=a•AB，即可得AB=．故答案为．【考点】本题考查射影定理的知识，注意掌握每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．四、解答题1、(1)本次参加抽样调查的居民有600人；(2)见解析；(3).【解析】【分析】（1）用喜欢B类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢C类的人数，再计算出喜欢A类的人数的百分比和喜欢C类的人数的百分比，然后补全条形统计图和扇形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小明同时选中花生粽子和红枣粽子的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】(1)60÷10%＝600，所以本次参加抽样调查的居民有600人；(2)喜欢C类的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120(人)，喜欢A类的人数的百分比为×100%＝30%；喜欢C类的人数的百分比为×100%＝20%；两幅统计图补充为：(3)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中小明同时选中花生粽子和红枣粽子的结果数为2，所以小明同时选中花生粽子和红枣粽子的概率＝＝．【考点】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．2、（1）；（2）见解析，【解析】【分析】(1)这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,根据概率公式计算即可;(2)画出树状图计算即可.【详解】（1）∵这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,∴数字是6的概率为,故答案为：；（2）解：画树状图如图所示：∵共有12种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况．∴（其中有一幅是祖冲之）．【考点】本题考查了概率公式计算，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键．3、当b＞1时，原方程的解为y＝±；当b≤1时，原方程无实数解．【解析】【分析】把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案．【详解】解：移项得：by2﹣y2＝2+1，合并同类项得：（b﹣1）y2＝3，当b＝1时，原方程无解；当b＞1时，原方程的解为y＝±；当b＜1时，原方程无实数解．【考点】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论．4、(1)见解析；(2)见解析；(3)2.59.【解析】【分析】（1）画图、测量可得；（2）依据表中的数据，描点、连线即可得；（3）由题意得出△CDF是等腰三角形时BE的长度即为y1与y2交点的横坐标，据此可得答案．【详解】(1)补全表格如下：x012345y15.04.123.613.614.125.00y201.412.834.245.657.07(2)函数图象如下：(3)结合函数图象2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，BE的长度约为2.5906，故答案为2.59．【考点】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握函数思想的运用及函数图象的画法、数形结合思想的运用．5、(1)见解析(2)12【解析】【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：证明△ABP′≌△ADP′，即可求解；（2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解．(1)解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，∵AP′=AP′，∴△ABP′≌△ADP′，∴BP′=DP′，∴BP+PE=DP′+P′E≥DE，即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小；(2)解：由（1）得：BP′=DP′，∴P′B＋P′E＝DE．∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6．∴AD＝AB＝8．∴DE＝＝10．∴PB＋PE的最小值是10．∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12．【考点】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．6、∴抛物线的解析式为y＝x（2）①∵A（1，2），B（7，2），当抛物线经过点A时，a＝2，当抛物线经过点B时，2＝49a，∴a＝，∵若G与△ABC有交点，∴≤a≤2．②由题意当a＝时，y＝x2，当y＝8时，8＝x2，∴x＞0，∴x＝14，∴当反比例函数y＝经过点（14，8）时k的值最大，此时k＝112，∴k的最大值为11