第八章理论力学哈工大

第八章点的合成运动研究对象：通过研究一个动点相对于两个不同的参考系的运动之间的关系,提出一种有效的运动分析方法，即运动的分解与合成方法.研究方法：机构上的一个动点

本章重点、难点

⒈重点

点的运动的合成与分解，点的速度合成定理及加速度合成定理及其应用。⒉难点牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念，以及动点、动坐标系的选择。概念◆坐标系

描述物体运动的参照框架。

◆地心坐标系

以地球中心为坐标原点，三个相互正交的坐标轴分别指向三颗恒星所构成的坐标系。

◆日心坐标系

以太阳中心为坐标原点，三个相互正交的坐标轴分别指向三颗恒星所构成的坐标系。

◆定坐标系（定系）

人为假定固定不动的坐标系。工程上通常把定坐标系建立在地面上。由于运动是相对的，可根据需要把任意坐标系定义为定系。

◆动坐标系（动系）

相对于定系运动着的坐标系。

实例一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动，圆周上的一点画出来的曲线叫作旋转线，也叫摆线。旋轮线的形状是一拱一拱的，只要圆不停地旋转，画出来的旋轮线就会不断延长。容易知道，旋轮线的每一拱的横向长度都等于圆的周长。§8-1相对运动·牵连运动·绝对运动两个坐标系定坐标系（定/静系）:一般情况下取与地球固连的参考系（或者将参考系固定在与地球没有相对运动的物体上）。以Oxyz表示。动坐标系（动系）:相对与定参考系运动的参考系，一般指相对地面运动着的参考系。以O

x

y

z

表示。三种运动绝对运动：动点相对于定系的运动。相对运动：动点相对于动系的运动。牵连运动：动系相对于定系的运动。动点：指相对于定系和动系均有运动的点。一个动点绝对轨迹绝对速度绝对加速度

在某一瞬时，动系上与动点相重合的一点称为动点在此瞬时的牵连点。牵连点的速度和加速度称为动点在该瞬时的牵连速度和牵连加速度。牵连运动指动系相对于定系而言，所以牵连速度亦是相对于定系而言。相对轨迹相对速度相对加速度牵连速度和牵连加速度三种速度·三种加速度实例一：车轮的运动分析绝对运动：旋轮线牵连运动：直线转动相对运动：圆周运动动点：轮缘上一点

动系：汽车一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动，圆周上的一点画出来的曲线叫作旋转线，也叫摆线。旋轮线的形状是一拱一拱的，只要圆不停地旋转，画出来的旋轮线就会不断延长。容易知道，旋轮线的每一拱的横向长度都等于圆的周长。绝对运动：直线运动牵连运动：定轴转动相对运动：曲线运动（螺旋运动）动点：车刀刀尖

动系：工件实例二：车刀的运动分析实例三：回转仪的运动分析动点：Ｍ点

动系：框架相对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动绝对运动：空间曲线运动回转仪，就是绕几何对称轴高速旋转的边缘厚重的物体，它表现出一些奇妙而有趣的特征。常平架回转仪有保持自转轴方向恒定的特性，被用于飞机航空地平仪，船舶的稳定器和回转罗盘等，在实际中得到了广泛的应用。轮船上用来指示方向,军事上用来瞄准目标。动点与动系的选取原则（P186思考题）⒈动点与动系不能选在同一物体上，否则无相对运动。⒉动点相对于动系的相对运动轨迹要一目了然，即是一条简单、明了的已知轨迹曲线—-圆弧或直线。绝对运动运动方程相对运动运动方程动点：M

动系：绝对、相对和牵连运动之间的关系由坐标变换关系有可以利用坐标变换来建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。牵连运动的方程为：动点的绝对运动和相对运动都是点的运动，它可能是直线运动，也可能是曲线运动。牵连运动则是动坐标系的运动，属于刚体的运动，有平移、定轴转动和其它形式的运动。动坐标系作何种运动取决于与之固连的刚体的运动形式。讨论

例8-1点M相对于动系沿半径为r的圆周以速度v作匀速圆周运动(圆心为O1）

，动系相对于定系以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如图所示。初始时与重合，点M与O重合。求：点M的绝对运动方程。解:相对运动方程代入求：点M的绝对运动方程。已知：r，相对速度v，＝ωt，

绝对运动方程求：点M的绝对运动方程。已知：r，相对速度v，＝ωt，

例8-2用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖M沿水平轴x作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐标系，刀尖的运动方程为。工件以等角速度逆时针转向转动。求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。相对运动轨迹已知：求:相对运动方程解:动点：M

动系：工件

从上式中消去时间t，得刀尖的相对轨迹方程可见，车刀在工件上切出的痕迹是一个半径为b/2的圆，该圆的圆心c在动坐标轴上，圆周通过工件的中心O

。点的复合运动分析方法，首先明确一个动点和两个坐标系。显然，动点、动坐标系和定坐标系应分别取在三个不同的物体上。绝对运动、相对运动是点的运动，它只能是直线运动或某种曲线运动；牵连运动是刚体运动，由动坐标系所固连的参考体的运动所决定，它只能是平动、转动或其他形式的刚体运动，从而判定各个瞬时动点的牵连点的运动。§8-2

点的速度合成定理例：小球在金属丝上的运动牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点，称为动点的牵连点。动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动空间，除动坐标系作平移外，动坐标系上各点的运动状态是不相同的。在任意瞬时，只有牵连点的运动能够给动点以直接的影响。为此，定义某瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度讨论例如，直管OB以匀角速度

绕定轴O转动，小球M以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的牵连速度分别为动点与牵连点动点和牵连点是一对相伴点，在运动的同一瞬时，它们是重合在一起的。动点是与动系有相对运动的点。牵连点是动系上的几何点。在运动的不同瞬时，动点与动坐标系上不同的点重合，而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同。速度合成定理动点在一个任意运动的刚体K上沿弧AB相对于刚体K运动动坐标系固结在刚体K上，静坐标系固结在地面上瞬时t，动点位于M处

t后，动点运动到处绝对运动轨迹M1是瞬时t的牵连点，是此牵连点的轨迹。显然：动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和速度合成定理

上式为矢量方程，它包含了绝对速度、牵连速度和相对速度的大小、方向六个量，已知其中四个量可求出其余的两个量。速度合成定理的推导定系：Ｏxyz，动系：，动点：Ｍ为牵连点导数上加“～”表示相对导数。得

点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。⑴是矢量式，符合矢量合成法则；⑵是瞬时关系式，两边可以求导；⑶共包括大小﹑方向六个要素，已知任意四个要素，能求出另外两个要素。讨论

例8-3刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。

求：曲柄在水平位置时摇杆的角速度。曲柄摆杆机构2、运动分析：绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。已知:√√√3、解:1、动点：滑块A动系：摇杆[例]

曲柄摆杆机构已知：OA=r,

,OO1=l

图示瞬时OA

OO1

求：摆杆O1B角速度

1解：⒈选取动点、动系、静系：动点:OA杆上A点动系:摆杆O1B

，静系:固连地面。⒉三种运动分析：⑴绝对运动：动点A静系绝对轨迹：⑵相对运动:动点A动系相对轨迹：⑶牵连运动:定轴转动动系（摆杆O1B

）静系（摆杆O1B

）斜直线（）由速度合成定理作出速度平行四边形如图示。由速度合成定理：⒊三种速度分析:大小：方向：两未知量可解⒋作速度矢量关系图求解：总结解题步骤1）选取动点、动系和定系。（注：动点和动参考系不能选在同一个物体上）。2）分析三种运动和三种速度及其方向。3）作速度平行四边形（注：绝对速度要为平行四边形的对角线）。4）求解。思考题1：直角曲杆以匀角速度

绕

轴转动，在图示位置（

垂直

）时，摇杆

的角速度为_________。答案：0

例8-4如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求：在图示位置时，杆AB的速度。解：1、动点：AB杆上A

动系：凸轮牵连运动：定轴运动（轴O）相对运动：圆周运动（半径R）

2、绝对运动：直线运动（AB）已知：

3、√√√[例3]

圆盘凸轮机构已知：OC＝e,

,

（匀角速度）图示瞬时,OC

CA

且

O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。解：⒈选取动点、动系、静系：动点:AB杆上A点,静系:固连地面。⒉三种运动分析：⑴绝对运动：动点A静系绝对轨迹：⑵相对运动:动点A动系相对轨迹：⑶牵连运动:定轴转动动系（凸轮）静系（凸轮）动系:固连凸轮，由于A点始终与凸轮接触，因此，它相对于凸轮的相对运动轨迹为已知的圆。由速度合成定理：⒊三种速度分析:大小：方向：两未知量可解⒋作速度矢量关系图求解：作出速度平行四边形如图示，则A点（即AB杆）的速度大小为：关于动点动系选择的讨论本题中，选择AB杆的A点为动点，动坐标系与凸轮固结。因此，三种运动、特别是相对运动轨迹十分明显、简单且为已知的圆，使问题得以顺利解决。若选凸轮上的点（例如与A重合之点）为动点，而动坐标系与AB杆固结，这样，相对运动轨迹不仅难以确定，而且其曲率半径未知。因而相对运动轨迹变得十分复杂，这将导致求解（特别是求加速度）的复杂性。求：矿砂相对于传送带B的速度。

例8-5矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速度为，方向与铅直线成300角。已知传送带B水平传动速度。解：1、动点：矿砂M动系：传送带B

牵连运动：平移（）

2、绝对运动：直线运动（）

相对运动：未知

3、√√已知：

例8-6圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动，支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。求：当连线OM在水平位置时，圆盘边缘上的点M的绝对速度。解：1、动点：M点动系：框架BACD

牵连运动：定轴转动（AB轴)

相对运动：圆周运动（圆心O点）

2、绝对运动：未知

已知：

3、√√

车床主轴的转速n=30r/min，工件的直径d=40mm，如图所示。如车刀横向走刀速度为v=10mm/s，求车刀对工件的相对速度。注意：1）选什么为动点，选什么为动系；绝对运动、相对运动、牵连运动都是什么样运动。如何对其进行速度分析，正确画出速度平行四边形。要求清楚地理解三个运动的概念及其应用分析。

2）在机构传动问题中若主动杆与从动杆在接触处有相对滑动，则以相对运动轨迹所在的物体为动系，而取在另一构件上的接触点为动点。

3）在有些传动机构中，运动的传递是通过滚轮来实现的，对于这类机构，一般滚轮中心对另一构件的相对运动轨迹明显，故选滚轮中心为动点，把动系固连在相对运动轨迹明显的构件上。§８-３点的加速度合成定理因为得同理可得即先分析对时间的导数:因为得令称为科氏加速度(科里奥利加速度P180)科利奥里有

点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。一般式科氏加速度大小方向垂直于和指向按右手法则确定科氏加速度的计算

当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。当牵连运动为平移时，因此此时有⑴定理的一般表达式∴一般式：讨论:当牵连运动为平移时⑵是矢量式，符合矢量合成法则；⑶若采用一般表达式或矢量方程的的总项数>3时，则一般不再采用四边形或三角形合成法则，而采用矢量投影定理求解，此时也只能解两个未知量。解：曲柄摆杆机构已知：O1A＝r,

,

,

1;取动点：套筒中心A点动系：固结O2B上.试计算动点A的科氏加速度。练习:求科氏加速度选取动点，动系。加速度的图形如果加速度中有要求的速度量，调用速度合成定理求解。根据解析法，求出未知量。求解合成运动的加速度问题的一般步骤:加速度合成定理求：气体微团在点C的绝对加速度。

例8-7空气压缩机的工作轮以角速度ω绕垂直于图面的O轴匀速转动，空气的相对速度

沿弯曲的叶片匀速流动，如图所示。如曲线AB在点C的曲率半径为ρ，通过点C的法线与半径间所夹的角为

，CO=r。空气压缩机是气源装置中的主体，它是将原动机（通常是电动机）的机械能转换成气体压力能的装置，是压缩空气的气压发生装置。

空气压缩机的种类很多，按工作原理可分为容积型压缩机和速度型压缩机。容积型压缩机的工作原理是压缩气体的体积，使单位体积内气体分子的密度增加以提高压缩空气的压力；速度型压缩机的工作原理是提高气体分子的运动速度，使气体分子具有的动能转化为气体的压力能，从而提高压缩空气的压力。离心式压气机属于叶片机械，其工作原理是以高速气流与工作叶轮和固定叶片的相互动力作用为基础.空气沿进气道进入工作轮随工作轮一起旋转，受到离心力的作用沿着工作轮上叶片所构成的通道流动，使空气受到压缩，这时压力从P1增加到P2，气流速度从c1增加到c2，驱动工作轮的机械功转化为空气在工作轮中获得的动能，和以压力形式表现的势能。

离心式空气压缩机广泛应用于汽车、化工、制药、采矿和空气分离等行业相对运动：曲线运动（AB）牵连运动：定轴转动（O轴）绝对运动：未知解：1、动点：气体微团C，动系：取气体微团为动点，动系固定在工作轮上，定系固定于地面由于气体微团相对于叶片作匀速曲线运动，故只有法向加速度2、加速度√√√

要点及讨论

★注意此类题型中选择动点和动系的原则

★牵连运动为转动时，注意

的存在及其计算。

★写出加速度矢量式之后，应用投影式进行定量计算。

动点和动系选择原则：动系固结于载体上，动点即取有相对运动的点。

例8-8刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。

求:摇杆O1B在如图所示位置时的角加速度。解：1、动点：滑块A

动系：O1B杆绝对运动：圆周运动2

、速度相对运动：直线运动（沿O1B）牵连运动：定轴转动（绕O1轴）√√√3、加速度√√√√√沿

轴投影

例8-9如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度ωO转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE，且BD=CE=l。求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。解：1、动点：滑块A

动系：BC杆绝对运动：圆周运动（O点）相对运动：直线运动（BC）牵连运动：平移2、速度√√√

3、加速度√√√√沿y轴投影求：该瞬时AB的速度及加速度。

例8-10如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度ω绕水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运动，且O，A，B

共线。凸轮上与点A接触的点为

，图示瞬时凸轮上点曲率半径为ρA

，点的法线与OA夹角为θ，OA=l。绝对运动：直线运动（AB）相对运动：曲线运动（凸轮外边缘）牵连运动：定轴转动（O轴）解：1、动点（AB杆上A点）动系：凸轮O2、速度√√√3、加速度√√√√√沿轴投影

要点及讨论

★本题为一典型的凸轮传动机构，顶杆上的点

A是两动刚体的持续接触点，因此确定以

A

为动点，将动系固结在凸轮上，动点的相对运动轨迹已知，从而便利了vr，ar等的分析。

★本题属于运动分解问题。除了按前面选定的动点、动坐标系对运动进行分解外，还可以进行不同的分解。下面提供另两种分解运动的思路，详细的分析运算请读者自行完成。①将动坐标系的原点选在凸轮的圆心

C

处，但动系并不固结在凸轮上，而是

轴及

轴始终分别保持水平方向和铅垂方向，或者说动系

是随点

C

作平动；同时仍选顶杆上的

A点为动点。运动过程中，A点与动系原点

C的距离保持为r，即A点的相对轨迹是以C为圆心、

为半径的圆周。相应三个速度的分析示于图（c），大小也可计算；加速度的分析，请读者继续完成。用本法分解，由于牵连运动为平动，故加速度分析中不出现科氏加速度，可简化计算（这种选择，只有凸轮是圆轮时才有此结果）。②以顶杆的

A

点为动系原点，将动系

固结于顶杆上，即牵连运动为铅垂方向的平动（规律未知）；同时以凸轮的圆心

C

点为动点。运动过程中，动点

C的绝对运动规律已知；且轮心

C到动系原点

A

的距离总为

r，即

C点的相对轨迹是以

A为圆心、

为半径的圆周，见图（d）。余下三个速度的分析计算及加速度的分析计算，请读者自己完成。本法中也不出现科氏加速度。★本题也可用解析法求解。顶杆端点

A

作直线运动，只要列出其运动方程式（OA

长度的变化规律）再通过对时间求导即可求出任一瞬时A

点的位置、速度与加速度。实际上，如果将OC

看成曲柄，AC看成连杆，则本题实质上是一个曲柄滑块机构。由此可知，用解析法讨论的曲柄滑块机构，也可用点的复合运动方法求解。

例8-11圆盘半径R=50mm，以匀角速度ω1绕水平轴CD转动。同时框架和CD轴一起以匀角速度ω2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动，如图所示。如ω1=5rad/s,ω2=3rad/s。求：圆盘上1和2两点的绝对加速度。解：1、动点：圆盘上点1（或2）动系：框架CAD绝对运动：未知相对运动：圆周运动（O点）牵连运动：定轴转动（AB轴）

2、速度（略）3、加速度×√√√

点1的牵连加速度与相对加速度在同一直线上，于是得点２的牵连加速度相对加速度大小为科氏加速度大小为各方向如图，于是得与铅垂方向夹角刻有直槽OB

的正方形板OABC

在图示平面内绕O

轴转动，点M以r=OM=（r以厘米计）的规律在槽内运动，若以弧度/秒计），则当t=1秒时，点M的科氏加速度为_________，方向应在图中画出。已知杆OC长

，以匀角速度

绕O

转动，若以滑块C

为动点，AB

为动系，则当AB

杆处于铅垂位置时，动点C的科氏加速度

=_________，方向须由图表示。在图示平面机构中，杆AB=40cm，以匀角速度

绕A

轴转动，而

CD

以

绕

B

轴转动，BD=BC=30cm，图示瞬时

。若取

AB为动坐标，则此时

D

点的牵连速度的大小为_________，牵连加速度的大小为_________（方向均须在图中画出）。150cm/s;450cm/s^2系统按

t、且

t（式中a、b、

均为常量）的规律运动，杆长

L，若取小球

A

为动点，物体

B

为动坐标系，则牵连加速度

_________，相对加速度

_________，科氏加速度

=_________方向均须由图表示）。在分析点的速度和加速度时，动点的绝对速度、绝对加速度以及动点的相对速度、相对加速度，可以根据已明确的运动