基础强化北师大版9年级数学上册期中试题及参考答案详解（培优）

北师大版9年级数学上册期中试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（

）A． B． C． D．2、如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（

）A． B． C． D．3、一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（）A． B．C． D．4、用配方法解方程时，原方程应变形为（

）A． B． C． D．5、若实数满足，则的值是（）A．1 B．-3或1 C．-3 D．-1或36、爷爷的生日晚宴上，大家两两碰杯一次，总共碰杯45次，那么有几人参加了这次宴会？（

）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人7、如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC−CF=2HE．其中正确的结论有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题（3小题，每小题2分，共计6分）1、下列说法正确的是(

)．A．对角线相等的菱形是正方形B．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是菱形C．成轴对称的两个图形全等D．有三个角相等的四边形是矩形2、在下列选项中，是方程的根的是（

）A．6 B． C．2 D．3、某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则不符合这一结果的实验是（

）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4第Ⅱ卷（非选择题80分）三、填空题（10小题，每小题2分，共计20分）1、如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为_______.2、已知关于的方程的一个根是，则____．3、已知关于的方程的一个根是1，则______．4、如图所示,大正方形ABCD内有一小正方形DEFG,对角线DF长为6cm,已知小正方形DEFG向东北方向平移3cm就得到正方形D'E'BG',则大正方形ABCD的面积为____.5、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____．6、袋中有五颗球，除颜色外全部相同，其中红色球三颗，标号分别为1，2，3，绿色球两颗，标号分别为1，2，若从五颗球中任取两颗，则两颗球的标号之和不小于4的概率为__．7、已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．8、为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．9、中国“一带一路”倡议给沿线国家带来很大的经济效益．若沿线某地区居民2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，则2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为______________.10、如图，四边形、是正方形，点、分别在、上，连接，过点作，交于点，若，，则________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．2、已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．3、用适当的方法解下列方程：（1）

（2）4、定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝8，请直接写出边AB长的最小值．

5、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；(3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．6、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8cm2?-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率．【详解】解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的结果，共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能，即甲和乙从同一节车厢上车的概率是，故选：C．【考点】本题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2、C【解析】【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，当P点位于E点时，，即，则，∵,∴,即,∵∴,∵点为的中点，∴,故选：C．【考点】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．3、D【解析】【分析】按照配方法的步骤，移项，配方，配一次项系数一半的平方.【详解】∵x2−2x−m=0，∴x2−2x=m，∴x2−2x+1=m+1，∴(x−1)2=m+1．故选D．【考点】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．4、D【解析】【分析】移项，配方，变形后即可得出选项．【详解】解：x2-4x=1，x2-4x+4=1+4，∴（x-2）2=5，故选：D．【考点】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．5、A【解析】【分析】设x2-3x=y．将y代入原方程得到关于y的一元二次方程y2+2y-3=0即可，解这个方程求出y的值，然后利用根的判别式检验即可.【详解】设x2-3x=y．将y代入原方程，得y2+2y-3=0，解之得，y=1或y=-3．当y=1时，x2-3x=1，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-1）=9+4=13＞0，有两个不相等的实数根，当y=-3时，x2-3x=-3，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×3=9=12＜0，无解．故y=1，即x2-3x=1．故选A．【考点】本题考查了换元法解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.6、C【解析】【分析】此题利用基本数量关系：两两碰杯一次，总次数为（n表示人数）列方程解答即可．【详解】解：设有x人参加了这次宴会，根据题意列方程得，，解得x₁＝10，x₂＝−9（不合题意，舍去），∴有10人参加了这次宴会．故选：C．【考点】此题考查一元二次方程的应用中的基本数量关系：单循环比赛进行的总场数为，依此数量关系推广到一般问题．7、D【解析】【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF=BC-（CD-DF）=2HE，判断出④正确．【详解】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°-45°）=67.5°，∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵AB=AH，∵∠AHB=（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=67.5°=∠AED，∴OE=OH，∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，∴∠DHO=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；∵HE=AE-AH=BC-CD，∴BC-CF=BC-（CD-DF）=BC-（CD-HE）=（BC-CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D．【考点】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．二、多选题1、AC【解析】【分析】根据正方形，矩形的判定，成轴对称图形的关系，对各选项进行判断即可；【详解】解：对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；B顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C成轴对称的两个图形全等，正确，符合题意；D有四个角相等的四边形是矩形，错误，不符合题意．故答案为：A、C．【考点】本题考查了正方形，矩形的判定，成轴对称图形的关系．解题的关键在于对知识的灵活运用．2、AD【解析】【分析】分别将选项带入方程计算即可．【详解】解：当时，，成立，6是方程的根；当时，，不是方程的根；当时，，2不是方程的根；当时，，成立，是方程的根；故选：AD．【考点】本题考查了一元二次方程方程的根，使方程成立的未知数的取值是方程的根．3、ABC【解析】【分析】根据统计图可知，实验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者符合实验结果．【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出“剪刀”的概率为，故不符合实验结果，符合题意；B、一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为；故不符合实验结果，符合题意；C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故不符合实验结果，符合题意；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为：故符合实验结果，不符合题意；故选：ABC．【考点】本题考查了利用频率估算概率以及概率公式的简单应用，大量反复试验下频率稳定值即为概率，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．三、填空题1、（12-x）（8-x）=77【解析】【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．【详解】道路的宽为x米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，故答案为(12-x)(8-x)=77.【考点】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．2、【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义将x=1代入即可求出a的值．【详解】解：∵关于的方程的一个根是∴解得：a=-1故答案为：．【考点】此题考查的是根据一元二次方程的解，求参数的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．3、【解析】【分析】根据题意可得出1+6+m2-2m+5=0，然后解出该方程的解即可．【详解】解：∵方程的一个根是1，∴1+6+m2-2m+5=0，∴m2-2m=-12，∴2（m2-2m）=-24．∴故答案为：-24【考点】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4、

cm2【解析】【分析】先求出BD的长，再根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论.【详解】∵DF＝6cm，已知小正方形DEFG向东北方向平移3cm就得到正方形D′E′BG′，∴BD＝6＋3＝9．∵四边形ABCD是正方形，∴2AB2＝BD2，即AB2＝BD2＝＝（cm2）.【考点】本题考查的知识点是平移的性质，解题关键是利用正方形性质进行解答.5、3【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=×6=3．故答案为3．【考点】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．6、##0.5【解析】【分析】画树状图，共有20个等可能的结果，两颗球的标号之和不小于4的结果有10个，再由概率公式求解即可．【详解】画树状图如图：共有20个等可能的结果，两颗球的标号之和不小于4的结果有10个，两颗球的标号之和不小于4的概率为，故答案为：．【考点】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．7、－1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义m-1≠0，且，解答即可．【详解】∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，∴m-1≠0，且，∴m-1≠0，且，∴，故答案为：-1．【考点】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．8、x（x﹣1）=21【解析】【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为x（x﹣1）=21．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．9、20【解析】【分析】设该地区人均收入增长率为x，根据2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，可列方程求解.【详解】解：设该地区人均收入增长率为x，则300×（1+x）2=432，∴（1+x）2=1.44，解得x=0.2（x=-2.2舍），∴该地区人均收入增长率为20％.故本题答案应为：20％.【考点】一元二次方程在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出方程是解题的关键.10、【解析】【分析】求出BE的长，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求出四边形EFCH是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=CH，再根据正方形的性质可得AB=BC，AE=EF，然后求出BH=BE即可得解．【详解】∵AB=4，AE=1，∴BE=AB−AE=4−1=3，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AD∥EF∥BC，又∵EH∥FC，∴四边形EFCH平行四边形，∴EF=CH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB=BC，AE=EF，∴AB−AE=BC−CH，∴BE=BH=3．故答案为3．【考点】本题主要考查正方形和平行四边形，掌握正方形与平行四边形的判定与性质是解题的关键．四、解答题1、（1）证明见解析；（2）矩形EFGH的面积=．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；（2）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BGAB=3，AG=3CE，BFBC=2，CF=2，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．【详解】（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC．∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得：∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；（2）依题意得：∠BAG∠BAD=30°．∵AB=6，∴BGAB=3，AG=3CE．∵BC=4，∠BCF∠BCD=30°，∴BFBC=2，CF=2，∴EF=3，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF．【考点】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．2、（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析【解析】【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．【考点】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．3、（1），；（2），【解析】【分析】（1）根据因式分解法求解一元二次方程的性质计算，通过计算即可得到答案；（2）根据公式法求解一元二次方程的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）∵∴∴∴，；（2）∵∴∴，．【考点】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．4、（1）证明见解析；（2）△EFG是等腰直角三角形；证明见解析；（3）AB最小值为．【解析】【分析】延长BE，DG交于点H，先证△ABE≌△ADG，得BE=DG，∠ABE=∠ADG．结合∠ABD+∠ADB=90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即可得∠BHD=90°．从而得证；（2）延长BA，CD交于点H，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB=CD，从而得∠HBC+∠HCB=90°，根据三个中点知EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，据此得∠BGF=∠C，EFD=∠HBD，EF=GF．由∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°可得答案；（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，由EF≥HF−HE＝BC−AD＝4−2＝2然后结合（2）可知AB＝EF≥2可得答案．【详解】解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°．∴∠BAE=∠DAG．∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴BE=DG，∠ABE=∠ADG．∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即∠EBD+∠BDG=90°，∴∠BHD=90°．∴BE⊥DG．又∵BE=DG，∴四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）△EFG是等腰直角三角形．理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，∴AB⊥CD，AB=CD，∴∠HBC+∠HC