考点解析辽宁省灯塔市中考数学真题分类（勾股定理）汇编综合测试试卷（含答案详解版）

辽宁省灯塔市中考数学真题分类（勾股定理）汇编综合测试考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（

）A．1 B．2020 C．2021 D．20222、如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A，B，C均在格点上，则∠ABC的度数为（

）A．45° B．50° C．55° D．60°3、下列四组数中，是勾股数的是（）A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，4、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（

）A．7m B．7.5m C．8m D．9m5、如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（

）A． B． C． D．6、如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，画一条线段AB=，使点A，B在小正方形的顶点上，设AB与网格线相交所成的锐角为α，则不同角度的α有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种7、如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（

）A．2 B．4 C．5 D．6第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s2、设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________．3、如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则__________．4、若△ABC中，cm，cm，高cm，则BC的长为________cm．5、把一根长12厘米的木棒，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两段，用得到的三根木棒首尾依次相接，摆成的三角形形状是______．6、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取点D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，连结DE．若AB＝4，AC＝3，则DE＝__．7、图，在菱形ABCD中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连接MD，若，则的值为______．8、如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处断裂，且旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部________m位置断裂．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？2、已如：如图，四边形中，，求四边形的面积．3、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1）请在所给网格中画一个边长分别为，，的三角形；（2）此三角形的面积是．4、如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．（1）求小明家离小红家的距离；（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．5、勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．6、已知：在中，点在直线上，点在同一条直线上，且，【问题初探】（1）如图1，若平分，求证：．请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．【变式再探】（2）如图2，若平分的外角，交的延长线于点，问：和的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．【拓展运用】（3）如图3，在的条件下．若，求的长度．7、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22=，；OA32=12+，；OA42=12+，…（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OAn2=______；Sn=______．（2）求出OA10的长．（3）若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和．【详解】解：如图，由题意得：SA=1，由勾股定理得：SB＋SC=1，则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，故选：D【考点】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键．2、A【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理分别求出AB、AC、BC，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，再根据三角形内角和定理得到答案．【详解】连接AC，∵，，，∴，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠ABC=(180°-∠ACB)=45°．故选A．【考点】本题考查了等腰三角形，勾股定理的逆定理，解决问题的关键是作辅助线构建三角形，熟练掌握等腰三角形的定义和性质，熟练运用勾股定理的逆定理判断直角三角形．3、A【解析】【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；B、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；C、22+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意；D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；故选：A．【考点】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．4、B【解析】【分析】根据题意，画出图形，设旗杆AB=x米，则AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理的方程（x+1）2=x2+42，解方程求得x的值即可.【详解】如图所示：设旗杆AB=x米，则AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+1）2=x2+42，解得：x=7.5．故选B．【考点】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的基本思路是是画出示意图，利用勾股定理列方程求解．5、C【解析】【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正确，不符合题意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正确，不符合题意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正确，不符合题意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正确，符合题意．故选：C．【考点】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．6、C【解析】【详解】如图，（1）当AB=时，AB与网格线相交所成的两个锐角：∠=45°；（2）当AB=时，AB与网格线相交所成的锐角∠有2个不同的角度；综上所述，AB与网格线相交所成的锐角的不同角度有3个.故选C.7、D【解析】【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图符合条件的格点C的个数是6个故选：D．【考点】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．二、填空题1、8【解析】【分析】过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN120米，∴AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵144千米/小时=40米/秒，∴影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8．【考点】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．2、48【解析】【分析】由该三角形的周长为24，斜边长为10可知a＋b＋10＝24，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．【详解】解：∵三角形的周长为24，斜边长为10，∴a＋b＋10＝24，∴a＋b＝14，∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2＋b2＝102，则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102，即142−2ab＝102，∴ab＝48．故答案为：48．【考点】本题主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理证明线段的平方关系及完全平方公式的变形求值是解题的关键．3、【解析】【详解】解：设CD=x，则AD=A′D=4-x．在直角三角形ABC中，BC==5．则A′C=BC-AB=BC-A′B=5-3=2．在直角三角形A′DC中：AD2+AC2=CD2．即：（4-x）2+22=x2．解得：x=．故答案为：2.54、28或8##8或28【解析】【分析】高的位置不确定，应分情况进行讨论：（1）高在内部；（2）高在外部，依此即可求解．【详解】解：如图（1）cm，cm，，则，，则；如图（2），由（1）得，，则．则的长为或．故答案为或．【考点】此题考查了勾股定理，本题需注意高的位置不确定，应根据三角形的形状分两种情况讨论．5、直角三角形【解析】【分析】首先计算出第三条铁丝的长度，再利用勾股定理的逆定理可证明摆成的三角形是直角三角形．【详解】解：12-3-5=4（cm），∵32+42=52，∴这三条铁丝摆成的三角形是直角三角形，故答案为：直角三角形．【考点】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．6、5【解析】【分析】根据角度转换，得到三角形ADE是直角三角形，然后运用勾股定理计算出DE的长.【详解】∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°.∵α+β＝∠B，∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.∴△ADE是直角三角形.∴DE===5.【考点】本题主要考查到运用勾股定理求长度，说明三角形ADE是直角三角形是解题的关键.7、【解析】【分析】延长DM交CB的延长线于点首先证明，设，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【详解】延长DM交CB的延长线于点H，四边形ABCD是菱形，，，，，，≌，，，，设，，，，，，或舍弃，，故答案为．【考点】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键．8、6【解析】【分析】设，则,在中，利用勾股定理列方程，即可求解．【详解】解：如图，由题意知，，，设，则,在中，，即，解得，因此旗杆在离底部6m位置断裂．故答案为：6．【考点】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．三、解答题1、（1）12米；（2）7米【解析】【分析】（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；（2）由题意得CO=5米，然后根据勾股定理可得求解．【详解】解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，在Rt，由勾股定理得：AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，解得AO=12米，答：这个梯子的顶端距地面有12米高；（2）由题意得，AC=7米，由（1）得AO=12米，∴CO=AO-AC=12-7=5米，在Rt，由勾股定理得：OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，解得OD=12米∴BD=OD-OB=12-5=7米，答：梯子的底端在水平方向滑动了7米．【考点】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2、【解析】【分析】利用勾股定理先求解再利用勾股定理的逆定理证明从而可得答案．【详解】解：如图，连接AC，，所以四边形ABCD的面积为：【考点】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握“勾股定理与勾股定理的逆定理”是解本题的关键．3、（1）画图见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理在网格中确定再顺次连接即可；（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可.【详解】解：（1）如图，即为所求作的三角形，其中：（2）故答案为：【考点】本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键.4、（1）米；（2）见解析，米【解析】【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论；（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）如图，连接AB，由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，∵AB＞0∴AB=1300米；（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，由题意知AD=200米，A'C⊥MN，∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，在Rt△A'BC中，∵∠ACB=90°，∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，∵A'B＞0，∴A'B=1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．【考点】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．5、证明见解析【解析】【分析】连接AC，根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．【详解】解：连接AC，∵△ABE≌△BCD，∴AB=BC，