考点解析-北师大版9年级数学上册期末试题及完整答案详解【考点梳理】

北师大版9年级数学上册期末试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题24分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（

）A．4 B．4.8 C．5 D．5.52、如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是（

）A． B．C． D．3、如图，G是正方形ABCD内一点，以GC为边长，作正方形GCEF，连接BG和DE，试用旋转的思想说明线段BG与DE的关系（）A．DE＝BG B．DE＞BG C．DE＜BG D．DE≥BG4、已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（

）A．或 B．15 C． D．5、关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定6、如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形OAB，则△OAB面积的最小值为（

）A． B． C．2 D．2二、多选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、如图，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，不能判定DE∥BC的是（

）．A． B．C． D．2、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，正确的是（）A． B．C． D．3、两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且．如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（）A． B． C．2 D．-24、如图，正方形ABCD中，CE平分∠ACB，点F在边AD上，且AF＝BE．连接BF交CE于点G，交AC于点M，点P是线段CE上的动点，点N是线段CM上的动点，连接PM，PN．下列四个结论一定成立的是（

）A．CE⊥BF B．BE＝AM C．AE＋FM＝AB D．PM＋PN≥AC5、如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，以下结论正确的有（

）A．四边形CFHE是菱形 B．EC平分∠DCHC．线段BF的取值范围为3≤BF≤4 D．当点H与点A重合时，EF＝6、已知反比例函数y＝﹣，则下列结论错误的是（）A．点（1，2）在它的图象上 B．其图象分别位于第一、三象限C．y随x的增大而增大 D．如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上第Ⅱ卷（非选择题76分）三、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，矩形纸片ABCD，AD＝4，AB＝3.如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，如果直线EF经过点D，那么线段BE的长是____．2、《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，，，EF过点A，且步，步，已知每步约40厘米，则正方形的边长约为__________米．3、已知菱形的边长为，两条对角线的长度的比为3：4，则两条对角线的长度分别是_____________．4、已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________．5、如图，边长为4的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和是________．6、中国“一带一路”倡议给沿线国家带来很大的经济效益．若沿线某地区居民2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，则2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为______________.7、举出一个生活中应用反比例函数的例子：______．8、已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么?2、如图，在矩形中，对角线与相交于点E，过点A作，过点B作，两线相交于点F．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，求证：．3、已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值．4、如图1，正方形ABCD中，AB＝5，点E为BC边上一动点，连接AE，以AE为边，在线段AE右侧作正方形，连接CF、DF．设．(当点E与点B重合时，x的值为0)，．小明根据学习函数的经验，对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x与y1、y2的几组对应值；x0123455.004.123.614.125.0001.412.834.245.657.07(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，BE的长度约为cm．5、解一元二次方程（1）（2）6、如图，在四边形中，，，．．（1）求的长；（2）求四边形的面积．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．【详解】如图，设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，∴BC＝，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，∴AP＝＝4.8，故选：B．【考点】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键．2、B【解析】【分析】判断出组合体的左视图、主视图及俯视图，即可作出判断．【详解】解：几何体的左视图和主视图是相同的，故选：B．【考点】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，注意理解三视图观察的方向．3、A【解析】【分析】根据四边形ABCD为正方形，得出BC=DC，∠BCD=90°，根据四边形CEFG为正方形，得出GC=EC，∠GCE=90°，再证∠BCG=∠DCE，△BCG与△DCE具有可旋转的特征即可【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°，∵四边形CEFG为正方形，∴GC=EC，∠GCE=90°，∵∠BCG+∠GCD=∠GCD+∠DCE=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCE，∴BG=DE，故选项A．【考点】本题考查图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件，同角的余角性质，掌握图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件是解题关键．4、A【解析】【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，若m是斜边，则；在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，若n是斜边，则；又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m=和n=不能同时取，即当m=5，，，当，n=10，，故选：A．【考点】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．5、A【解析】【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【详解】△=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4，∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．【考点】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．6、C【解析】【分析】根据等腰直角三角形性质得出S△OAB＝OA•OB＝OA2，先求得OA取最小值时A的坐标，即可求得OA的长，从而求得△OAB面积的最小值．【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝OB，∴S△OAB＝OA•OB＝OA2，∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小，∵当直线OA为y＝x时，OA最小，解得或，∴此时A的坐标为（，），∴OA＝2，∴，∴△OAB面积的最小值为2，故选：C．【考点】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，求得OA取最小值时A的坐标是解题的关键．二、多选题1、BCD【解析】【分析】利用各选项给定的条件，结合再证明,可得,逐一分析各选项，从而可得答案．【详解】解：A、而则故A不符合题意；B、与不一定相似，则与不一定相等，不一定平行，故B符合题意；C、，而而不一定相等，故不一定平行，故C符合题意；D、与不一定相似，则与不一定相等，不一定平行，故D符合题意；故选：BCD．【考点】本题考查的是相似三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．2、ABCD【解析】【分析】利用位似图形的画法：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为BC上的一点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点．故选：ABCD．【考点】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．3、AD【解析】【分析】利用方程根的定义去验证判断即可．【详解】∵，，∴，∴，，∴，，∵是方程的一个根，∴是方程的一个根，∴是方程的一个根，即时方程的一个根.∵是方程的一个根，∴，当x=时，，∴是方程的根．故选：A，D．【考点】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．4、ABD【解析】【分析】由SAS可证△BAF≌△CBE，进而可证EG⊥BG，即CE⊥BF，故A正确；根据ASA可证△BCG≌△MCG，知∠CBG=∠CMG，因为∠CBG=∠AFM，∠AMF=∠CMG，可得∠AFM=∠AMF，即AM=AF，可证BE=AM，故B正确；因AB=AE+BE=AE+AM，故C不正确；当PN⊥MC时，PM+PN=BP+PN=BN最短，此时BN为△ABC底边AC上的高，则BN的长度为PM+PN的最小值，根据正方形的性质知，BN==BD=AC，因此PM+PN≥AC，故D正确．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠BAF=∠CBE=90°在△BAF和△CBE中∴△BAF≌△CBE（SAS）∴∠BAF=∠ECB∵∠CBE=90°∴∠BEC+∠BCE=90°∴∠BEC+∠FBA=90°∴∠BGE=180°-（∠BEC+∠FBA）=90°∴EG⊥BG，即CE⊥BF，故A正确；∵CE平分∠ACB∴∠BCE=∠MCG∵CE⊥BF∴∠MGC=∠BGC=90°在△BCG和△MCG中∴△BCG≌△MCG（ASA）∴∠CBG=∠CMG∵正方形ABCD∴AD∥BC∴∠CBG=∠AFM∵∠AMF=∠CMG∴∠AFM=∠AMF∴AM=AF∵AF=BE∴BE=AM，故B正确；∵AB=AE+BE，BE=AM∴AE+AM=AB，故C不正确；连接BP，如图，∵△BCG≌△MVG∴BG=GM∵CE⊥BF∴CG垂直平分BM∴MP=BP当PN⊥MC时，PM+PN=BP+PN=BN最短，此时BN为△ABC底边AC上的高，则BN的长度为PM+PN的最小值，根据正方形的性质知，BN==BD=AC∴PM+PN≥AC，故D正确综上所述，一定成立的是ABD，故选：ABD．【考点】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．5、ACD【解析】【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可判断出A正确；根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，即可判断出B错误；点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，即可判断出C正确；过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，即可判断出D正确．【详解】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，故A正确；∵四边形CFHE是菱形，∴∠BCH=∠ECH，∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，故B错误；点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8-x）2，解得x=3，点G与点D重合时，CF=CD=4，∴BF=4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故C正确；如图，过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8-3）-3=2，由勾股定理得，EF=，故D正确；故选ACD．【考点】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，掌握知识点是解题关键．6、ABC【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质解答．【详解】A、将x=1代入y=-得到y=-2≠2，∴点（1，2）不在反比例函数y=-2x的图象上，故本选项错误；B、因为比例系数为-2，则函数图象过二、四象限，故本选项错误；C、在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项错误．D、如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上，故本选项正确；故选：ABC．【考点】本题考查了反比例函数的性质，熟悉反比例函数的图象是解题的关键．三、填空题1、【解析】【分析】根据题意作出图形，根据矩形的性质与折叠的性质证明，进而勾股定理求得，即可求得，根据折叠，即可求解．【详解】解：如图∵将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，四边形ABCD是矩形在中，故答案为：【考点】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．2、112【解析】【分析】根据题意，可知Rt△AEN∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．【详解】解：∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，∴，∴AM=AN，由题意可得，∠ANF=∠EMA=90°，∠NAF+∠AFN=∠NAF+∠EAM=90°，∴∠AFN=∠EAM，∴Rt△AEM∽Rt△FAN，∴，∵AM=AN，∴，解得：AM=140，∴AD=2AM=280（步），∴（米）故答案为：112．【考点】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．3、，【解析】【分析】如图BD：AC=3：4，AB=10cm，设BD=3x，则AC=4x，根据菱形的性质，DO=BO=，AO=CO=2x，在RtΔAOD中，AD2+DO2+AO2，，求出x，BD=3x，AC=4x即可．【详解】如图BD：AC=3：4，AB=10cm，设BD=3x，则AC=4x，根据菱形的性质，DO=BO=，AO=CO=2x，AC垂直BD在RtΔAOD中，AD2+DO2+AO2，，x=4，AC=4×4=16，BD=3×4=12，则两条对角线的长度分别是12cm,16cm．故答案为：12cm,16cm．【考点】本题考查菱形的对角线问题，掌握菱形的性质，利用对角线之间的关系，和勾股定理构造方程是解题关键．4、①③④【解析】【分析】利用根与系数的关系判断①；由Δ=b2-4ac判断②；由判别式可判断③；将x=m代入方程得am2=-（bm+c），再代入=（2am+b）2变形可判断④．【详解】解：若方程两根为-1和2，则=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正确；由b＞a+c不能判断Δ=b2-4ac值的大小情况，故②错误；若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故③正确．若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2=4a[-（bm+c）]+4abm+b2=4abm-4abm-4ac+b2=b2-4ac．故④正确；故答案为：①③④．【考点】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系及根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．5、8【解析】【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积．【详解】解：根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转90°，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合，所以阴影的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数与的图象均与正方形ABCD的边相交，而边长为4的正方形面积为16，所以图中的阴影部分的面积是8．故答案为：8．【考点】本题主要考查反比例函数图象和性质的应用，关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答．6、20【解析】【分析】设该地区人均收入增长率为x，根据2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，可列方程求解.【详解】解：设该地区人均收入增长率为x，则300×（1+x）2=432，∴（1+x）2=1.44，解得x=0.2（x=-2.2舍），∴该地区人均收入增长率为20％.故本题答案应为：20％.【考点】一元二次方程在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出方程是解题的关键.7、路程s一定，速度v与时间t之间的关系（答案不唯一）．【解析】【分析】利用反比例函数的定义并结合生活中的实例来解答此题即可【详解】根据路程=速度时间，速度v则可以用反比例函数来表示．故答案可以为路程s一定，速度v与时间t之间的关系（答案不唯一）．【考点】本题主要考查了反比例函数的定义形式如（k为常数，）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．8、1【解析】【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．【详解】解（x-3m）（x-m）=0∴x-3m=0或x-m=0解得x1=3m,x2=m，∴3m-m=2解得m=1故答案为：1．【考点】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．四、解答题1、（2）由（1）同理可得（5﹣x）2x＝整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，所以，此方程无解．所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．【考点】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．7．△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE；理由见解析.【解析】【分析】根据两个三角形的两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形证明即可．【详解】解：△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE．理由如下：∵∠2＝∠3，∠AFD＝∠EFB∴△AFD∽△EFB，∴∠B＝∠D．∵∠1＝∠2，∴，∴∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE．【考点】本题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理，本题用到了两组角对应相等的两个三角形互为相似三角形．2、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出四边形是菱形；（2）连接，由菱形的性质得出，证出和是等边三角形，推导出即可求解．【详解】证明：（1），，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，，，，四边形是菱形；（2）连接，四边形是菱形，，，∠AFC=90°，，，是等边三角形，是等边三角形，，，又，是等边三角形，．【考点】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，证明四边形是菱形再进一步证出和是等边三角形是解决问题（2）的关键．3、（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵，∴，∵方程有两个实数根为，，∴，∵，∴，解得：．【考点】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关