解析卷-北师大版9年级数学上册期末试卷必考题附答案详解

北师大版9年级数学上册期末试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题24分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（

）A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割2、如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点在上，交于F，则图中与相似的三角形有（不再添加其他线段）（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、直角三角形的面积为，斜边上的中线为，则这个三角形周长为（

）A． B．C． D．4、如下图所示的几何体从上面看到的图形()A． B． C． D．5、已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（）A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣26、如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（）A． B． C． D．二、多选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、已知四边形是平行四边形，再从①，②，③，④四个条件中选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．②④2、如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论中正确的是（

）A．S△ADB=S△ADC；B．当0＜x＜3时，y1＜y2；C．如图，当x=3时，EF=；D．当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．3、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（

）A．函数解析式为I＝ B．当R＝9Ω时，I＝4AC．蓄电池的电压是13V D．当I≤10A时，R≥3.6Ω4、下列各组图形中相似的是（

）A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形5、如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC交于N、M，则下列式子中正确的是（

）A． B． C． D．6、下列说法正确的是(

)．A．对角线相等的菱形是正方形B．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是菱形C．成轴对称的两个图形全等D．有三个角相等的四边形是矩形第Ⅱ卷（非选择题76分）三、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）2、对任意实数a，b，定义一种运算：，若，则x的值为_________．3、制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是_____元．4、一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则其斜边的长是___．5、对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．6、如图，矩形的两边，的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F．若，则反比例函数的表达式为______．7、在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．8、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为角，那么这个直角三角形的较小的内角是________.四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、已知关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．2、定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝8，请直接写出边AB长的最小值．

3、已知：.（1）求代数式的值；（2）如果，求的值.4、如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．6、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝DE＝AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．（1）[问题发现]①当θ＝0°时，＝；②当θ＝180°时，＝；（2）[拓展研究]试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）[问题解决]在旋转过程中，BE的最大值为．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据黄金分割的定义即可求解．【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D【考点】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．2、D【解析】【分析】根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．【详解】根据题意得：BC=B′C，AB=A′B′，AC=A′C，∠B=∠B′，∠A=∠A′=30°，∠ACB=∠A′CB′=90°∵∠A=30°，∠ACB=90°∴∠B=60°∴BB′=BC=B′C，∠B=∠BCB′=∠BB′C=60°∴∠B′CA=30°，∠ACA′=60°，A′B′∥BC∴∠B′FC=∠B′FA=90°∴△AB′F∽△ABC∽△A′B′C∽△A′CF∽△CFB′∴有4个故选D．【考点】考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．3、D【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可．【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为x、y，∵斜边上的中线为d，∴斜边长为2d，由勾股定理得，x2+y2=4d2，∵直角三角形的面积为S，∴,则2xy=4S，即（x+y）2=4d2+4S，∴∴这个三角形周长为：，故选D.【考点】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.4、D【解析】【分析】该几何体是下面一个长方体，上面是一个小的长方体，因此从上面看到的图形是两个长方形叠在一起．【详解】解：从上面看到的图形：故答案为：D．【考点】此题考查了从不同方向观察物体和几何体，考查学生的空间想象能力和抽象思维能力．5、B【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝3，x1x2＝1，再把代数式x12+x22化为，再整体代入求值即可.【详解】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．故选：B．【考点】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟练的利用根与系数的关系求解代数式的值是解本题的关键.6、A【解析】【分析】连接AG并延长交BC于H，如图，利用三角形重心的性质得到AG=2GH，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，然后根据比例的性质得到△ADE与四边形DBCE的面积比.【详解】解：连接AG并延长交BC于H，如图，∵点G为△ABC的重心，∴AG＝2GH，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝（）2＝，∴△ADE与四边形DBCE的面积比＝．故选：A．【考点】本题考查了三角形的重心与相似三角形的性质与判定.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.二、多选题1、ACD【解析】【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．【详解】解：A、①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，故A符合题意；B、②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，故B不符合题意；C、①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，故C符合题意；D、②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，故D符合题意；故选ACD．【考点】本题考查了正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．2、ACD【解析】【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，利用AAS得到三角形OBA与三角形CDA全等，利用全等三角形对应边相等得到，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，由图象判断时x的范围，以及与的增减性，把分别代入直线与反比例解析式，相减求出EF的长，即可做出判断．【详解】解：对于直线，令，得到;令，得到，，，即，,在和中，,,,(同底等高三角形面积相等)，选项A正确；,把C点坐标代入反比例解析式得：，即，由函数图象得：当时，，选项B错误；当时，，，即,选项C正确；当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，选项D正确．故选：ACD．【考点】此题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及的知识有：一次函数与坐标系的交点，待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质以及反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．3、BD【解析】【分析】设函数解析式为，将点（4,9）代入判断A错误；将R＝9Ω代入判断B正确；由解析式判断C错误；由函数性质判断D正确．【详解】解：设函数解析式为，将点（4,9）代入，得，∴函数解析式为，故A错误；当R＝9Ω时，I＝4A，故B正确；蓄电池的电压是36V，故C错误；∵39>0，∴I随R的增大而减小，∴当I≤10A时，R≥3.6Ω，故D正确；故选：BD．【考点】此题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，已知自变量求函数值的大小，正确掌握反比例函数的综合知识是解题的关键．4、BCD【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质进行解答即可得．【详解】解：A、没有指明这个的角是顶角还是底角，则无法判定其相似，选项说法错误，不符合题意；B、有一个角为的等腰三角形是等边三角形，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似，选项说法正确，符合题意；C、已知一个角为的等腰三角形，我们可以判定其为顶角，顶角相等且两条腰对应成比例则这两个三角形相似，选项说法正确，符合题意；D、两个等腰直角三角形，可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似，选项说法正确，符合题意；故选BCD．【考点】本题考查了相似三角形，解题的根据是掌握相似三角形的判定和等腰三角形的性质．5、ABC【解析】【分析】由，可得三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：，，，，，，，所以、、正确，符合题意；，，，，所以错误，不符合题意．故选：ABC．【考点】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边成比例．注意数形结合思想的应用．6、AC【解析】【分析】根据正方形，矩形的判定，成轴对称图形的关系，对各选项进行判断即可；【详解】解：对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；B顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C成轴对称的两个图形全等，正确，符合题意；D有四个角相等的四边形是矩形，错误，不符合题意．故答案为：A、C．【考点】本题考查了正方形，矩形的判定，成轴对称图形的关系．解题的关键在于对知识的灵活运用．三、填空题1、2.0或3.3【解析】【分析】由点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），可得OA=5，OB=7，AB=4，然后分别由△OA′D∽△OAB与△OA′D∽△OBA，根据相似三角形的对应边成比例，即可得答案．【详解】∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），∴OA==5，OB=7，AB==4，若△OA′D∽△OAB，则，设AD=x，则OD=5﹣x，A′D=x，即，解得：x≈2.2，∴，∴OA′=2.0；若△OA′D∽△OBA，则，同理：可得：OA′≈3.3．故答案为2.0或3.3．【考点】此题考查了相似三角形的性质与折叠的知识．注意数形结合与方程思想的应用，小心别漏解是解题关键．2、2或-3##-3或2【解析】【分析】根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，解得或，故答案为：2或-3．【考点】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．3、1080【解析】【分析】直接利用相似多边形的性质进而得出答案．【详解】∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，∴面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．故答案为：1080．【考点】此题考查相似多边形的性质，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4、cm【解析】【分析】设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是7cm，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长．【详解】解：设这个直角三角形的较短直角边长为xcm，则较长直角边长为（x＋5）cm，根据题意，得，所以，解得，，因为直角三角形的边长为正数，所以不符合题意，舍去，所以x＝2，当x＝2时，x＋5＝7，由勾股定理，得直角三角形的斜边长为＝＝cm．故答案为：cm．【考点】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，关键是知道三角形面积公式以及直角三角形中勾股定理的应用．5、或2【解析】【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．【详解】解：根据新定义内容可得：，整理可得，解得，，故答案为：或2．【考点】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．6、【解析】【分析】利用勾股定理计算出，则，设，则，，，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得，所以，即可求出的值，从而得到反比例函数的表达式．【详解】解：如图连接AE，∵矩形的两边，的长分别为3、8，E是的中点，，，，设，则，是的中点，，，，在反比例函数的图象上，，解得，，，反比例函数的表达式是．故答案为．【考点】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理的应用，表示出点的坐标是解题的关键．7、##【解析】【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．【详解】∵点E是AB的黄金分割点，∴．∵AB=2米，∴米．故答案为：（）．【考点】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．8、25【解析】【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，证明得到，再利用外角性质求出，再得到，从而得解.【详解】如图所示，∵是斜边上的中线，∴，∴，∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为，即，∴，解得：，另一个锐角，∴这个直角三角形的较小内角是.故答案为：.【考点】本题考查了直角三角形的性质和外角的性质，比较基础.四、解答题1、(1)；(2)【解析】【分析】(1)根据建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．【详解】解：(1)由题意可知，，整理得：，解得：，∴的取值范围是：．故答案为：．(2)由题意得：，由韦达定理可知：，，故有：，整理得：，解得：，又由(1)中可知，∴的值为．故答案为：．【考点】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．2、∴抛物线的解析式为y＝x（2）①∵A（1，2），B（7，2），当抛物线经过点A时，a＝2，当抛物线经过点B时，2＝49a，∴a＝，∵若G与△ABC有交点，∴≤a≤2．②由题意当a＝时，y＝x2，当y＝8时，8＝x2，∴x＞0，∴x＝14，∴当反比例函数y＝经过点（14，8）时k的值最大，此时k＝112，∴k的最大值为112【考点】本题考查二次函数综合题、待定系数法、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．2．（1）证明见解析；（2）△EFG是等腰直角三角形；证明见解析；（3）AB最小值为【解析】【分析】延长BE，DG交于点H，先证△ABE≌△ADG，得BE=DG，∠ABE=∠ADG．结合∠ABD+∠ADB=90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即可得∠BHD=90°．从而得证；（2）延长BA，CD交于点H，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB=CD，从而得∠HBC+∠HCB=90°，根据三个中点知EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，据此得∠BGF=∠C，EFD=∠HBD，EF=GF．由∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°可得答案；（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，由EF≥HF−HE＝BC−AD＝4−2＝2然后结合（2）可知AB＝EF≥2可得答案．【详解】解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°．∴∠BAE=∠DAG．∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴BE=DG，∠ABE=∠ADG．∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即∠EBD+∠BDG=90°，∴∠BHD=90°．∴BE⊥DG．又∵BE=DG，∴四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）△EFG是等腰直角三角形．理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，∴AB⊥CD，AB=CD，∴∠HBC+∠HCB=90°∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，∴EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，∴∠BGF=∠C，∠EFD=∠HBD，EF=GF，∴∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°．∴△EFG是等腰直角三角形；（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，则EF≥HF−HE＝BC−AD＝4−2＝2，由（2）可知AB＝EF≥2，∴AB最小值为【考点】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．3、（1）1；（2）【解析】【分析】（1）设a=2k，b=3k，c=5k，代入代数式，即可求出答案；（2）把a、b、c的值代入，求出即可．【详解】∵∴设a=2k，b=3k，c=5k，（1）；（2）∵∴6k-3k+5k=24，∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.【考点】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．4、【解析】【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.【详解】画树状图得：所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为.【考点】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能