2025中考数学总复习《锐角三角函数》题库试题附参考答案详解【预热题】

中考数学总复习《锐角三角函数》题库试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜120°）得到△AB'C'，B'C'与BC、AC分别交于点D、点E，设CD+DE＝x，△AEC'的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．2、的相反数是（）A． B． C． D．3、如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，D是AC的中点，则tan∠DBC的值是（）

A． B． C． D．4、如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（）

A． B． C． D．5、边长都为4的正方形ABCD和正EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合，现将EFG沿AB方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点F与点B重合时停止，在这个运动过程中，正方形ABCD和EFG重合部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、当0≤θ≤α时，将二次函数y＝﹣x2x（0≤x）的图象G，绕原点逆时针旋转θ得到图形G均是某个函数的图象，则α的最大值为_____．2、已知0°<a<90°，当a=_________时，sina=；当a=_________时，tana=．3、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是和，则∠BAC的度数是________．4、如图，中，，D为边上一动点（不与B，C重合），和的垂直平分线交于点E，连接、、和、与的交点记为点F．下列说法中，①；②；③；④当时，，正确的是__________（填所有正确选项的序号）5、如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，CD⊥AB于点D，若AB=10，CD=4，则sin∠BCD的值为____．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛C在北偏东和北偏东方向上，已知小岛C周围方圆30海里的海域内有暗礁．该船若继续向东方向航行，有触礁的危险吗？并说明理由．2、计算：．3、将抛物线，与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的表达式和点D的坐标；（2）∠ACB与∠ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．4、如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A、点B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求⊙O的半径．5、如图，矩形的两边在坐标轴上，点A的坐标为，抛物线过点B，C两点，且与x轴的一个交点为，点P是线段CB上的动点，设（）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，和中的一个角相等？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PMBQ，交CQ于点M，作PNCQ，交BQ于点N，当四边形为正方形时，求t的值．6、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，与BD交O一点，直线EF过点O分别交直线AB，CD，BC于E，F，H．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OC2＝HC•BC，OC：BH＝3，求sin∠BAC；（3）在△AOF中，若AF＝8，AO＝OF＝4，求平行四边形ABCD的面积．-参考答案-一、单选题1、B【分析】先证△ABF≌△AC′E（ASA），再证△B′FD≌△CED（AAS），得出DE+DC=DE+DB′=B′E=x，利用锐角三角函数求出，AG=AC′sin30°=1，根据三角形面积列出函数解析式是一次函数，即可得出结论．【详解】解：设BC与AB′交于F，∵△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜120°）得到△AB'C'，∴∠BAF=∠C′AE=α，∵AB=AC=AB′=AC′，∠B=∠C=∠B′=∠C′=30°，在△ABF和△AC′E中，，∴△ABF≌△AC′E（ASA），∴AF=AE，∵AB′=AC，∴B′F=AB′-AF=AC-AE=CE，在△B′FD和△CED中，，∴△B′FD≌△CED（AAS），∴B′D=CD，FD=ED，∴DE+DC=DE+DB′=B′E=x，过点A作AG⊥B′C′于G，∵AB′=AC′，∴B′G=C′G，∵AC′=2，∴cosC′=，∴，∴∴AG=AC′sin30°=1∴EC′=∴∴是一次函数，当x=0时，．故选择B．【点睛】本题考查等腰三角形性质，图形旋转，三角形全等判定与性质，解直角三角形，三角形面积，列一次函数解析式，识别函数图像，本题综合性强，难度大，掌握以上知识是解题关键．2、C【分析】先计算=，再求的相反数即可．【详解】∵=，∴的相反数是，故选C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，相反数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3、D【分析】根据正切的定义以及，设，则，结合题意求得,进而即可求得．【详解】解：在ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，设，则，D是AC的中点，．故选D【点睛】本题考查了正切的定义，特殊角的三角函数值，掌握正切的定义是解题的关键．4、B【分析】利用，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，再利用勾股定理求解可得tan∠ACD=，从而可得答案.【详解】解：如图，∵，∴∠BAC=∠DCA．∵同圆的半径相等，∴AC=AB=3，而在Rt△ACD中，tan∠ACD=．∴tan∠BAC=tan∠ACD=．故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．5、C【分析】由题意知当t=2时，三角形和正方形重合一半面积，由此可列0≤t≤2和2≤t≤4分段函数．【详解】当0≤t≤2时，设运动时GF与AD交于点H∵四边形ABCD为正方形，三角形EFG为正三角形∴∠FAH=90°，∠AFH=60°∴AF=t，AH=tan60°·AF=t，开口向上当2≤t≤4时，设运动时GE与AD交于点O∵四边形ABCD为正方形，三角形EFG为正三角形∴∠EAO=90°，∠OEA=60°∴AF=t，EA=4-t，AO=tan60°·EA=（4-t），开口向下综上所述，由图象可知仅C选项满足两段函数．故选：C．【点睛】本题考查了动点的图像问题，做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，并观察确定图像分为几段，弄清每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，主要是正负增减及变化的快慢等．匀速变化呈现直线段的形式，平行于x轴的直线代表未发生变化，成曲线的形式需要看切线的坡度的大小确定变化的快慢．二、填空题1、【解析】【分析】根据题意，找到图象G的切线，进而根据旋转的性质即可求得α的最大值【详解】解：∵将二次函数y＝﹣x2x（0≤x）的图象G，逆时针旋转θ得到图形G均是某个函数的图象，设过原点的直线∴当y＝﹣x2x，存在唯一交点时即解得设为上一点，过点作轴，则当图象旋转时，与轴相切，符合函数图象，故即故答案为：30°【点睛】本题考查了旋转的的性质，抛物线与直线交点问题，解直角三角形，理解题意求得直线与轴的夹角是解题的关键．2、30°60°【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可以得解．【详解】解：因为，故答案为①30°；②60°．【点睛】本题考查三角函数的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．3、15°或75°##75°或15°【解析】【分析】由题意可知半径为1，弦AB、AC分别是和，作OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可求出AM与AN的长度，然后分别在直角三角形AOM与直角三角形AON中，利用余弦函数，可求出∠OAM=45°，∠OAN=30°，然后根据AC与AB的位置情况分两种进行讨论即可．【详解】解：如图，作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM=AB，AN=AC，∵弦AB、AC分别是、，∴AM=，AN=；∵半径为1，∴OA=1；∵cos∠OAM=∴∠OAM=45°；同理∵cos∠OAN=∴∠OAN=30°；∴∠BAC=∠OAM+∠OAN或∠OAM-∠OAN∴∠BAC=75°或15°．【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理以及三角形函数．本题综合性强，关键是画出图形，作好辅助线，利用垂径定理和直角三角形的特殊余弦值求得角的度数，注意要考虑到两种情况．4、①②【解析】【分析】先证∠AED=90°，再利用∠2+∠DAB=∠3+∠DAB=45°，得出∠2=∠3可判断①；利用∠EAF和∠3的余弦值相等判断②；利用△ACD∽△AEF及勾股定理可判断③；设BM=a，用含a的式子表示出ED2和【详解】∵AC=BC，∠C=90°，∴∠3+∠DAB=∠CAB=∠ABC=45°，∵和的垂直平分线交于点E，∴AE=ED=BE，∠∴∠1=∠2，∠1+CBA=∠EDB∴∠CAB+∠2=∠1+CBA，∴∠EDB=∠CAE，∵∠EDB+∠CDE=180°，∴∠CAE+∠CDE=180°，∵∠CAE+∠C+∠CDE+∠AED=360°，∴∠C+∠AED=90°，∵∠C=90°，∴∠AED=90°，∵AE=ED，∴∠2+∠DAB=∠3+∠DAB=45°，∴∠2=∠3，∴△ACD∽△AEF，故①正确；∵△AED为等腰直角三角形，∴AD=2AE=ED，∴cos∠EAF=cos∠3=ACAD∴，故②正确；∵△ACD∽△AEF，∴ACAD=AEAF，在Rt△AED中，AE∴ACAD∴22∴AD∵BE∥AD，∴BFAF∴BFAB∴S△DFB∵BE∥AD，∴∠DAB=∠1，∴∠2+∠1=∠1+∠DAB=45°，过点B作BM⊥AE交AE的延长线于点M，∵∠MEB=∠2+∠1=45°，∴EM=BM，设BM=a，则EM=a，∴BE=a，∴AE=a，∴AB2=AM2∵ED∴ED2AB故答案为：①②【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角函数值等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．5、【解析】【分析】如图，连接OC，由AB是直径可得OC=OB=5，利用勾股定理可求出OD的长，即可得出BD的长，利用勾股定理可求出BC的长，根据正弦的定义即可得答案．【详解】如图，连接OC，∵AB为半圆O的直径，AB=10，∴OC=OB=5，∵CD⊥AB于点D，CD=4，∴OD==3，∴，∴BC=，∴sin∠BCD==．故答案为：【点睛】本题考查圆的性质、勾股定理及三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是邻边与斜边的比值；正切是对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．三、解答题1、有触礁的危险，见解析【解析】【分析】从点C向直线AB作垂线，垂足为E，设CE的长为x海里，根据锐角三角函数的概念求出x的值，比较即可．【详解】解：有触礁的危险．理由：从点C向直线AB作垂线，垂足为E，根据题意可得：AB=20海里，∠CAE=30°，∠CBE=45°，设CE的长为x海里，在Rt△CBE中：∵∠CBE=45°，∴BE=CE=x海里，∴AE=AB+BE=（20+x）海里，在Rt△CAE中：∵∠CAE=30°，∴tan30°=，解得：x=10+10，∵10+10＜30，∴该船若继续向正东方向航行，有触礁的危险．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用－方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．2、0【解析】【分析】先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解．【详解】解：【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角锐角三角函数值是解题的关键．3、（1），；（2）相等，理由见解析；（3），【解析】【分析】（1）根据抛物线与轴交于点和点，将点和点代入，求出即可，再化为顶点式；（2）先由、两点的坐标，得出，再根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，则由正切函数的定义求出，在中，由正切函数的定义也求出，得出，则，即；（3）设点的坐标为，先由相似三角形的形状相同，得出是锐角三角形，则，再根据，得到与是对应点，所以分两种情况进行讨论：①；②．根据相似三角形对应边的比相等列出关于的方程，解方程即可．【详解】解：（1）将点和点代入，，解得：，，，顶点的坐标为；（2）与相等，理由如下：如图，，点时，，即点坐标为，又，，，．在中，，，，，，，在中，，，，，，即；（3）点在平移后的抛物线的对称轴上，而的对称轴为，可设点的坐标为．是锐角三角形，当与相似时，也是锐角三角形，，即点只能在点的下方，又，与是对应点，分两种情况：①如果，那么，即，解得，点的坐标为；②如果，那么，即，解得，点的坐标为．综上可知点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有求抛物线的解析式，对称轴、顶点坐标的求法，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．解题的关键是注意两个三角形相似没有明确对应顶点时要注意分析题意分情况讨论结果．4、（1）见详解；（2）4．【解析】【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=60°，求得∠BAC=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO=∠OAB=30°，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD=2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∵BE=AB，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=60°，∴∠E=∠BAE=30°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠OBC=30°+60°=90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH=BC=2，∴OA==4，⊙O的半径为4．【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5、（1）C（0，4），B（10，4），抛物线解析式为y＝x2＋x＋4；（2）t＝3时，∠PBE＝∠OCD；（3）t的值为或【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中根据勾股定理可求得BQ、CQ，利用三角函数可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．【详解】解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2＋x＋4；（2）∵点P在BC上，可设P（t，4），，点E在抛物线上，∴E（t，t2＋t＋4），∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，∵∠BPE＝∠COD＝90°，当∠PBE＝∠OCD时，则△PBE∽△OCD，∴，即BP•OD＝CO•PE，∴2（10﹣t）＝4（t2＋t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；当∠PBE＝∠CDO时，则△PBE∽△ODC，∴，即BP•OC＝DO•PE，∴4（10﹣t）＝2（t2＋t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去）综上所述当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，∴∠CQO＋∠AQB＝90°，∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，∴∠OCQ＝∠AQB，∵∠COQ=∠QAB=90°∴△COQ∽△QAB，∴，即OQ•AQ＝CO•AB，设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，∴m（10﹣m）＝4×4，整理得，解得m＝2或m＝8，①当m＝2时，CQ＝＝，BQ＝＝，∴sin∠BCQ＝＝，sin∠CBQ＝＝，∴PM＝PC•sin∠PCQ＝t，PN＝PB•sin∠CBQ＝（1