2025年人教版9年级数学上册【二次函数】定向攻克练习题

人教版9年级数学上册【二次函数】定向攻克考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜02、如图，抛物线y=a1x2与抛物线y=a2x2+bx的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M、N，若，则的值是（）A．3 B．2 C． D．3、当函数是二次函数时，的取值为（

）A． B． C． D．4、当0x3，函数y＝﹣x2+4x+5的最大值与最小值分别是（）A．9，5 B．8，5 C．9，8 D．8，45、把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（

）A． B．C． D．6、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（

）A．（1，3） B．（0，1） C．（0，—3） D．（2，1）7、二次函数的图象如下左图，则一次函数与反比例函数．在同一坐标系内的图象大致为（

）A． B．C． D．8、若y=（m＋1）是二次函数，则m=

（

）A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对9、已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．10、若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（

）A．都关于y轴对称 B．开口方向相同C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到第Ⅱ卷（非选择题70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.2、抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．3、如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）．（1）当的面积最大时，的大小为______．（2）等边的边长为______．4、用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2.5、如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为_____．6、已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．7、如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．8、如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有_______（填序号）．9、二次函数的图象开口向下，则m__________．10、如图为二次函数的图象，根据图象可以得到方程的一个根在________与________之间，另一个根在________与________之间．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、二次函数与轴分别交于点和点，与轴交于点，直线的解析式为，轴交直线于点．（1）求二次函数的解析式；（2）为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与抛物线及直线分别交于点、．直线与直线交于点，当时，求值．2、如图，抛物线与直线分别相交于、两点，其中点在轴上，且此抛物线与轴的一个交点为．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小，请求出这个周长的最小值．3、如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图所示，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）连结，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？最大面积是多少？5、在平面直角坐标系中，函数的图象记为，函数的图象记为，其中为常数，且，图象，合起来得到的图象记为．（1）若图象有最低点，且最低点到轴距离为3，求的值；（2）若时，点在图象上，且，求的取值范围；（3）若点、的坐标分别为，，连结．当线段与图象恰有三个公共点时，请直接写出的取值范围．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据开口方向可判断a的符号，根据对称轴可判断b的符号，根据图像与y轴的交点可判断c的符号.【详解】解：由图象开口可知：a＜0；由图象与y轴交点可知：c＜0；由对称轴可知：0，∴b＜0；∴a＜0，b＜0，c＜0，故选：D．【考点】本题考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中考常考题型．2、B【解析】【分析】设，则由抛物线的对称性可知，，从而可得，，再由即可得到，再根据即可得到．【详解】解：设，∴由抛物线的对称性可知，，∴，，∵，∴即，又∵，∴，∴即，∴或（舍去），∴，故选B．【考点】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数上点的坐标特征，解题的关键在于能够求出．3、D【解析】【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．【详解】∵函数是二次函数，∴a-1≠0，=2，∴a≠1，，∴，故选D．【考点】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．4、A【解析】【分析】利用配方法把原方程化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答．【详解】y＝﹣x2+4x+5＝﹣x2+4x﹣4+4+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴当x＝2时，最大值是9，∵0≤x≤3，∴x＝0时，最小值是5，故选：A．【考点】本题考查二次函数的最值，掌握二次函数的性质与利用配方法将一般式改为顶点式是解答本题的关键．5、D【解析】【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x2向右平移2个单位所得抛物线是y=2(x−2)2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y=2(x−2)2向下平移1个单位所得抛物线是y=2(x−2)2−1.故选D.【考点】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握二次函数图象与几何变换.6、D【解析】【分析】根据抛物线与轴的两个交点坐标确定对称轴后即可确定顶点坐标．【详解】解：观察图象发现图象与轴交于点和，对称轴为，顶点坐标为，故选：D．【考点】本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据交点坐标确定对称轴，难度不大．7、C【解析】【分析】根据二次函数图像，确定二次函数系数的符号，再确定一次函数与反比例函数的系数，即可求得．【详解】解：二次函数图像开口向上，得到二次函数图像与轴有两个交点，得到二次函数的与轴交点在轴的下方，得到二次函数的对称轴，得到∴∴一次函数图像经过一、二、三象限反比例函数的图像经过二、四象限故选：C．【考点】此题主要考查了一次函数、反比例函数与二次函数图像与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．8、B【解析】【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，∴m=7，故选：B．【考点】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．9、B【解析】【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹤0，c﹥0，由此可得出，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．【详解】由二次函数图象开口向下可知：a﹤0，对称轴，由反比例函数图象分别在第一、三象限知：c﹥0，，一次函数的图象经过二，三，四象限,与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征,故选：B．【考点】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键．10、A【解析】【分析】根据二次函数的图像和性质逐项分析即可．【详解】A.因为，，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确，符合题意；B.抛物线，的图象开口向上，抛物线的图象开口向下，故选项B错误，不符合题意；C.抛物线，的图象不经过原点，故选项C错误，不符合题意；D.因为抛物线，，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D选项错误，不符合题意；故选A．【考点】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入A点坐标代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：解得：

所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了故答案是：【考点】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．2、﹣3＜x＜1【解析】【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．【考点】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．3、

【解析】【分析】（1）过点F作FD⊥BC于点D，由已知先证≌，得，，进可得∠FCD的度数，所以可求得FD，设等边△ABC的边长为a，则可把△ECF的面积表示出来，并求出面积的最大值，此时便可求得∠FEC的度数；（2）由图知△ECF的最大值，由（1）中计算知道它的面积的最大值，则两者相等，可求得等边△ABC的边长．【详解】过F作，交BC的延长线于D，如图：为等边三角形，为等边三角形，，，，，≌，，，，，，，设等边边长是a，则，，当时，有最大值为，(1)当的面积最大时，，即E是BC的中点，，，，，故答案为：；（2）当时，有最大值为，由图可知最大值是，，解得或边长，舍去，等边的边长为，故答案为：．【考点】本题考查等边三角形及二次函数知识，解题关键是证明由≌，用x的代数式表示的面积．4、112.5【解析】【分析】设矩形的长为xm，则宽为m，根据矩形的面积公式得出函数解析式，继而将其配方成顶点式，由x的取值范围结合函数性质可得最值．【详解】设矩形的长为xm，则宽为m，菜园的面积S=x•=-x2+15x=-（x-15）2+，（0＜x≤20）.∵当x＜15时，S随x的增大而增大，∴当x=15时，S最大值=m2，故答案为．【考点】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是解题的根本，由自变量x的取值范围结合二次函数的性质求函数解析式是解题的关键．5、2【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．【详解】解：当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣2，0）；当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）；当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝2，∴点D的坐标为（2，2）．设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：解得：∴直线AD的解析式为y＝x+1．当x＝0时，y＝x+1＝1，∴点E的坐标为（0，1）．当y＝1时，﹣x2+x+2＝1，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∴点P的坐标为（1﹣，1），点Q的坐标为（1+，1），∴PQ＝1+﹣（1﹣）＝2．故答案为：2．【考点】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P，Q的坐标是解题的关键．6、2019【解析】【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，∴m2-m=1，∴-3m2+3m+2022=-3（m2-m）+2022=-3+2022=2019．故答案为：2019．【考点】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．7、a＞b＞d＞c【解析】【分析】设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，a＞b＞d＞c．【考点】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．8、①②④【解析】【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，即可判断④，由抛物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时，，即可判断③．【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），∴c=3，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴，即，故②正确；∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确；∵抛物线开口向下，∴a<0，∵当x=-1时，，∴即，故③错误，故答案为：①②④．【考点】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质．9、【解析】【分析】根据二次函数的图象开口向下可得，求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，∴，解得：，故答案为：．【考点】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟知一元二次方程，开口向上；，开口向下是解本题的关键．10、

-1

0

2

3【解析】【分析】观察图象可得：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有两个，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间；然后由二次函数与一元二次方程的关系，即可求得答案．【详解】∵二次函数的图象与x轴的交点有两个，一个在−1与0之间，另一个在2与3之间；∴方程的一个根在−1与0之间，另一个根在2与3之间.故答案为−1，0，2，3.【考点】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根的知识.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.三、解答题1、（1）；（2）的值为，，．【解析】【分析】（1）由直线BC求出B、C的坐标，再代入二次函数的解析式，求出b、c的值，得出二次函数的解析式；（2）用含有m的代数式表示点E和点F的坐标，用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求出m的值.【详解】（1）直线的解析式点，点和在抛物线上，解得：二次函数的解析式为：（2）二次函数与轴交于点、点轴交直线于点点轴，轴,轴交直线于点，点点的坐标为，点的坐标为①若点在原点右侧，如图1，则,即，解得：，；②若点在原点左侧，如图2，则即，解得：，（舍去）；综上所述，的值为，，．【考点】本题考查二次函数与几何的综合问题，熟练掌握二次函数的性质是本题的解题关键，解题时结合一次函数的性质，利用相似三角形的性质列方程，灵活应用函数图像上点的坐标特征.2、（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用的解析式求解的坐标，把，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案；（2）联立两个函数解析式，求解的坐标，线段的长度，如图，要使的周长最小，则最小，设二次函数与轴的另一交点为，抛物线的对称轴为：点，连接交对称轴于，此时，最小，再利用勾股定理求解，从而可得答案．【详解】.解：（1）抛物线与直线交于轴上一点，令则点把，代入得：，解得：，抛物线的解析式是；（2）将直线与二次函数联立得方程组：解得：或，，如图，要使的周长最小，则最小，设二次函数与轴的另一交点为，抛物线的对称轴为：点，连接交对称轴于，此时，最小，此时：，的周长最小值为．【考点】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键．3、（1）；（2）四边形BECD面积的最大值为，E（，）；（3）存在．N的坐标为（，）或（，）或（，）．【解析】【分析】（1）由直线解析式求得B、C两点坐标，结合A点坐标利用待定系数法进行求解即可；（2）易求AD的解析式为，进而D（，）．求得CD的解析式为，进而求出CD与x轴的交点坐标，易求△BCD的面积为，设E（x，），表示出SBECD的面积，进而利用二次函数的性质即可求得答案；（3）存在．先求出抛物线的顶点坐标，根据平移规律求平移后抛物线解析式，设M（，m），N（xn，yn），易根据平行四边形对角线互相平分及中点公式．分类讨论即可得答案．【详解】（1），当x=0时，y=2，当y=0时，，解得：x=，所以B（，0），C（0，2），将A（，0），B（，0）代入y=ax2+bx+2，得，解得：，所以抛物线的解析式为；（2）∵AD//BC，∴设直线AD解析式为：．将A（，0）代入得：，解得：m=-，所以AD的解析式为，联立，解得：，，∵A（，0），∴D（，）．设CD解析式为y=kx+2，将点D坐标代入得：，解得：k=，所以CD的解析式为：，当y=0时，即，解得：x=，则CD与x轴的交点为（，0）．所以S△BCD==，设E（x，），则SBECD==，当x=时，四边形BECD面积最大，其最大值为，此时E（，）．（3）存在．N的坐标为（，），或（，），或（，）．过程如下：，所以抛物线的顶点是（，），将抛物线向左平移个单位，则平移后抛物线解析式为．设M（，m），N（xn，yn），①当AM为对角线时，则，解得：xn=，代入解析式得yn=．所以N（，），如图对角线交点坐标为（0，），M坐标为（，）②当AE为对角线时，则，解得：xn=，代入解析式得yn=．所以N（，），如图对角线交点坐标为（，），M坐标为（，0）③当AN为对角线时，则，解得：xn=，代入解析式得yn=．所以N（，）．如图对角线交点坐标为（，），M坐标为（，-8）．【考点】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数的最值，平行四边形的性质等，综合性较强，有一定的难度，准确识图，把握并灵活运用相关知识是解题的关键，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．4、（1）；（2）存在，当时，面积最大为16，此时点点坐标为．【解析】【分析】（1）