2025中考数学总复习《锐角三角函数》预测复习附答案详解（黄金题型）

中考数学总复习《锐角三角函数》预测复习考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在直角△ABC中，，，AC＝2，则tanA的值为（）A． B． C． D．2、如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（）A．3 B．4 C． D．3、如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠ACB＝46°，则小河宽AB为多少米（）A．50sin46° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44°4、在正方形网格中，ABC的位置如图所示，点A、B、C均在格点上，则cosB的值为（）

A． B． C． D．5、如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东的B处，则该船行驶的路程为（）

A．80海里 B．120海里C．海里 D．海里第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图,在中,是斜边上的中线,点是直线左侧一点,联结,若,则的值为______．2、如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为__．3、＝_______．4、如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点O是AC的中点，AC与BE交于点F，AG⊥BE，CH⊥BE，垂足分别为G，H，连接OH，OG，CG．下列结论：①CH﹣AG＝HG；②AG＝HG；③BH＝OG；④AF∶OF∶OC＝2∶1∶3；⑤5S△AFG＝S△GHC；⑥OG•AC＝BH•CD．其中结论正确的序号是________．5、如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、计算下列各式：（1）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；（2）．2、如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC＝40cm，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∠ACD＝75°．（1）求点C到AB的距离；（2）求线段AD的长度．3、解方程．（1）2x2+3x＝3．（2）计算：4sin30°+2cos45°﹣tan60°﹣2．4、如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于点D且tan∠CAD＝，求BC的长5、如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角为45°，斜坡CD的坡度i＝3∶4，CD＝100米，在观景台C处测得瀑布顶端A的仰角为37°，若点B、D、E在同一水平线上，求瀑布的落差AB．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）6、图1、图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．（1）求AC的长度：（2）直接写出拉杆端点A到水平滑杆ED所在直线的距离cm．-参考答案-一、单选题1、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB=3，AC＝2，∴BC=∴tanA=故选：B．

【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．2、C【分析】根据题意连接OB、OP，根据切线长定理即可求得∠BPO=∠APB，在Rt△OBP中利用三角函数即可求解．【详解】解：连接OB、OP，∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，∵⊙O半径为2，即，∴,∴.故选：C.【点睛】本题考查切线的性质定理以及三角函数，根据题意正确构造直角三角形是解题的关键．3、C【分析】根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：在中，，，米，故选：C，【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．4、B【分析】如图所示，过点A作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的余弦值即可得出答案．【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，∵AD=BD=4，∠ADB=90°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠B=45°∴故选B．

【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解．5、D【分析】过点A作AD⊥BC于点D，分别在和中，利用锐角三角函数，即可求解．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，

根据题意得：海里，∠ADC=∠ADB=90°，∠CAD=45°，∠BAD=60°，在中，海里，在中，海里，∴海里，即该船行驶的路程为海里．故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】先证明，则，进而证明，据求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：是斜边上的中线，即又又又设，则故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明是解题的关键．2、【解析】【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE．【详解】解：∵，∴，在中，，，∴，则．故答案为：．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键．3、5【解析】【分析】原式分别根据绝对值，有理数的乘方，二次根式以及特殊角三角函数值化简各项后，再进行加减运算即可得到答案．【详解】解：==5【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则及特殊角三角函数值是解答本题的关键4、①②③④⑥【解析】【分析】根据四边形ABCD为正方形性质，和点E是AD的中点得出AE=，根据三角函数定义得出tan∠ABE=，得出BG=2AG，证明△BAG≌△CBH（AAS），得出AG=BH，BG=CH，可判断①正确；根据BG=2AG，利用线段差得出HG=BG-AG=2AG-AG=AG，可判断②正确；取CH中点J，连结OJ，先证△AGO≌△CJO（SAS），得出∠AOG=∠COJ，GO=JO，再证△HGO≌△HJO（SSS），得出∠HOG=∠HOJ，说明点G，O，J三点共线，得出△GHJ为等腰直角三角形，利用勾股定理HG=可判断③正确；四边形ABCD为正方形，可证△AEF∽△CBF，得出，求出，可判断④正确；先证△AGF∽△CHF，得出GF=，求出S△AFG＝，S△GHC=，可判断⑤不正确；利用sin∠DAC=sin∠OGH=，OG•AC＝BH•CD，可判断⑥正确．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=AD，∠EAB=∠ABC=90°，∵点E是AD的中点，∴AE=∴tan∠ABE=，∴BG=2AG，∵AG⊥BE，CH⊥BE，∴∠AGB=∠BHC=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∠ABG+∠CBH=90°，∴∠BAG=∠CBH，在△BAG和△CBH中，，∴△BAG≌△CBH（AAS），∴AG=BH，BG=CH，∴CH﹣AG＝BG-BH=HG，故①正确；∵BG=2AG，∴HG=BG-AG=2AG-AG=AG，故②正确；取CH中点J，连结OJ，∵CJ=，AG⊥BE，CH⊥BE，∴AG∥CH，∴∠GAO=∠JCO，∵点O是AC的中点，∴AO=CO，在△AGO和△CJO中，，∴△AGO≌△CJO（SAS），∴∠AOG=∠COJ，GO=JO，在△HGO和△HJO中，，∴△HGO≌△HJO（SSS），∴∠HOG=∠HOJ，∵∠GOH+∠HOJ=∠AOG+∠FOH+∠HOJ=∠COJ+∠FOH+∠HOJ=∠AOC=180°，∴点G，O，J三点共线，∴∠HOG+∠HOJ=2∠HOG=180°，∴∠HOG=90°，∵∠GHJ=90°，HG=HJ，∴△GHJ为等腰直角三角形，点O为JG中点，∴OH=OG=OJ，∴HG=，∴BH=HG=OG，故③正确；∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，即AF∥BC，∴∠AEF=∠CBF，∠EAF=∠BCF，∴△AEF∽△CBF，∴，∴，∴OC-OF=，∴，∴，∴AF∶OF∶OC＝=2∶1∶3；故④正确；∵∠AFG=∠CFH，∠AGF=∠CHF=90°，∴△AGF∽△CHF，∴,∴，∵GF+FH=GH，∴GF=∴S△AFG＝，S△GHC=∴S△AFG＝S△GHC，故⑤不正确；∵AC为正方形对角线，∴∠DAC=45°，∵∠HOG=90°，OH=OG，∴∠OGH=45°，∴sin∠DAC=sin∠OGH=，∴OG•AC＝BH•CD，故⑥正确．其中结论正确的序号是①②③④⑥．故答案为：①②③④⑥．【点睛】本题考查正方形性质，锐角三角函数值，三角形全等判定与性质，三点共线，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，三角形面积，本题难度大，涉及知识多，图形复杂，掌握多方面知识是解题关键．5、【解析】【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案．【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，过点B作BC⊥OA于点C．由勾股定理，得AO=，BO=，∵=AB×OE=AO×BC，∴BC==，∴sin∠AOB==．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法是解题的关键．三、解答题1、（1）（2）【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值化简，故可求解；（2）根据特殊角的三角函数值化简，故可求解．【详解】（1）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°=×﹣4×+==（2）=====．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值、二次根式的运算即完全平方公式的运算．2、（1）20cm；（2）【解析】【分析】（1）过C点作CH⊥AB于H，如图，在Rt△BCH中，利用含30°的直角三角形三边的关系易得CH＝BC＝20；（2）在Rt△BCD中利用含30°的直角三角形三边的关系可得CH＝20，BH＝CH＝20，再利用三角形外角性质计算出∠BAC＝45°，则△ACH为等腰直角三角形，所以AH＝CH＝20，然后利用面积法求AD．【详解】解：（1）过C点作CH⊥AB于H，如图，在Rt△BCH中，∵∠B＝30°，∴CH＝BC＝×40＝20cm，即点C到AB的距离为20cm；（2）在Rt△BCH中，∵∠B＝30°，∴CH＝20cm，BH＝CH＝20cm，∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∴∠BAC＝75°﹣30°＝45°，∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH＝CH＝20cm，∴AB＝(20+20)cm，∵AD•BC＝CH•AB，∴AD＝＝(10+10)cm．【点睛】本题主要考查了含30°直角三角形的性质、解直角三角形、三角形的外角以及三角形的面积等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．3、（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用公式法求解即可得；（2）将特殊锐角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减法即可得．【详解】解：（1）化成一般形式为，此方程中的，则，即，故方程的解为；（2）原式，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握方程的解法和特殊角的三角函数值是解题关键．4、【解析】【分析】在中求出，，在中，由求出，即可得出的长．【详解】∵于点D，∴，为直角三角形，在中，，，∴，，在中，，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形，掌握直角三角形中，角所对的边是斜边的一半是解题的关键．5、480米【解析】【分析】首先根据斜坡CD的坡度i＝3∶4，CD＝100米，求出CE＝60，DE＝80，然后得出三角形ABD是等腰直角三角形，进而得到AB＝BD，然后根据仰角的三角函数值列出方程求解即可．【详解】解：∵，∴设CE＝3x，则DE＝4x在直角△CDE中，CD＝100∴（3x）2＋（4x）2＝1002解得：x＝20∴CE＝60，DE＝80在直角△ADB中，∵∠ADB＝45°，∴三角形ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形．∴CE＝BF＝60，CF＝BE＝AB＋80AF＝AB－60，解得AB＝480．答：瀑布的落差约为480米．【点睛】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系列方程求解．6、（1）（40+40）cm；（2）（20）cm．【解析】【分析】（1）过点F