9.1.2　第2课时　正、余弦定理解三角形 练习册答案

第2课时正、余弦定理解三角形1.D[解析]由9sin2B=4sin2A及正弦定理得9b2=4a2,则b=2a3,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=a2+4a22.B[解析]因为12acsinB=32,B=π3,所以ac=2,又因为b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac=3,所以(a+c)2=9,所以a+c=3,所以△ABC的周长为a+b+c=3+3,3.A[解析]由sinAcosC=2sinCcosA及正、余弦定理得a·a2+b2-c22ab=2c·b2+c2-a22bc,即a2+b2-c2=2(b2+c2-a2),即a2-c2=b23,又a2-4.C[解析]∵(sin2A+sin2C-sin2B)·tanB=sinA·sinC,∴(sin2A+sin2C-sin2B)·sinB=sinA·sinC·cosB(cosB≠0),∴由正弦定理可得(a2+c2-b2)·sinB=a·c·cosB,∴2a·c·cosB·sinB=a·c·cosB,∴2cosB·sinB=cosB,∵cosB≠0,∴sinB=12,∴B=π6或B=5π6.5.A[解析]因为2bcosC=a(2-c),所以2abcosC=a2(2-c),由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,则a2+b2-c2=a2(2-c),即a2+c2-b2=a2c,由余弦定理得a2+c2-b2=2accosB,所以a2c=2accosB,又B=π3,所以a=1.故选A6.C[解析]在△ABC中,因为AB=4,BC=3,∠ABC=60°,所以由余弦定理得AC=42+32-2×4×3×12=13,所以BD=ACsin∠ABC=13sin60°=2393.易知△ABD和△BCD均为直角三角形,所以AD=BD2-AB2=523-16=233,CD=BD2-BC27.A[解析]在△ABM中,由正弦定理得AMsinB=ABsin∠AMB,即23sin60°=2sin∠AMB,∴sin∠AMB=2sin60°23=12,又0°<∠AMB<120°,∴∠AMB=30°,∴∠BAM=90°,∴BM=AB2+AM2=4,又M是边BC的中点,所以BC=8.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC28.BCD[解析]根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,可得b2-c2=2abcosC-a2,即(b+c)(b-c)=2abcosC-a2,故B正确,A错误;根据余弦定理可得c(acosB-bcosA)=ca·a2+c2-b22ac-cb·b2+c2-a22bc=a2-b2,故C正确;根据两角和与差的正弦公式可得sin(A+B)sin(A-B)=(sinAcosB+cosAsinB)(sinAcosB-cosAsinB)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-(1-sin29.BC[解析]在△ABC中,A=60°,b=2,c=3+1,由余弦定理得a2=22+(3+1)2-2×2×(3+1)×cos60°=6,则a=6,所以C正确;由正弦定理得6sin60°=2sinB,解得sinB=2×326=22,又b<a,所以B=45°,所以B正确;由三角形内角和定理知C=180°-60°-45°=75°,所以A错误;△ABC的面积为12×2×(3+1)×sin60°=10.4[解析]由题意知sin∠ABC=235=sinπ2+∠CBD=cos∠CBD,在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC×BDcos∠CBD=27+25-2×33×5×211.27+4[解析]因为C=2B,所以sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理得c=2bcosB,由余弦定理得c=2b×a2+c2-b22ac=b(a2+c2-b2)ac,12.5[解析]因为4S=tanA(b2+c2-5),所以4×12bcsinA=sinAcosA(b2+c2-5),因为sinA>0,所以2bc=1cosA(b2+c2-5),即2bccosA=b2+c2-5,由余弦定理得2bc×b2+c2-a22bc=13.解:(1)因为cos∠ADC=cos(π-∠ADB)=-cos∠ADB=-14所以cos∠ADB=14,所以sin∠ADB=15在△ABD中,由正弦定理得ABsin∠ADB=即AB154=3368,(2)因为sinB=368,△ABC为锐角三角形,所以cosB=在△ABD中,由余弦定理得cosB=AB2+BD2-AD22AB又cos∠ADB=AD2+所以BD=2,所以BC=4,所以△ABC的面积为12AB·BC·sinB=314.解:(1)证明:方法一:∵ba=2∴b+bcosA=2a-acosB,由余弦定理可得b+b×b2+c2-a2即2bc+b2+c2-a2=4ac-(a2+c2-b2),即2bc+2c2=4ac,∴2a=b+c.方法二:∵ba=2-cosB1+cosA,∴2sinA-sinAcosB=sinB+sinBcosA,可得2sinA=sinB+sinAcosB+sinBcosA=sinB+sin(A+B)=sinB+sinC,由正弦定理可得2a=b+c.(2)由余弦定理可得cosA=b2(b+c)2-2bc-a22bc=4a2-∵cosA=45,A为三角形内角,∴sinA=1-co∴S△ABC=12bcsinA=12×20×315.D[解析]设三角形的直角边长为3,则斜边长为32,因为E,F为AB的三等分点,所以AE=EF=BF=2.在△ACE中,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AE·cos45°=9+2-2×3×2×22=5,则CE=5,易知CF=CE=5,在△CEF中,由余弦定理得cos∠ECF=CF2+CE2-EF22CF·CE=5+5-22×5×16.解:(1)由cosB=34及0<B<π,得sinB=1-3由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,故1tanA+1tanC=cosA