2025年中考数学总复习《锐角三角函数》能力检测试卷（含答案详解）

中考数学总复习《锐角三角函数》能力检测试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（）A．3 B．4 C． D．2、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ΔABC绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（）A． B． C． D．3、若tanA=2，则∠A的度数估计在（）A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间4、如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东的B处，则该船行驶的路程为（）

A．80海里 B．120海里C．海里 D．海里5、在直角△ABC中，，，AC＝2，则tanA的值为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、______．2、_______．3、在正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF＝DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是______．①tan∠GFB＝．②MN＝NC；③．④S四边形GBEM＝．4、计算：sin30°－tan45°＝____________．5、如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝2，则BN的长为___，sin∠AFE的值为___．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、2、如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点、均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出等腰，点在小正方形的顶点上，的面积为；（2）在方格纸中画出以为斜边的，点在小正方形顶点上，，连接，并直接写出的长．3、如图，内接于，弦AE与弦BC交于点D，连接BO，，（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）在（2）的条件下，过点O作于点H，延长HO交AB于点P，若，，求半径的长．4、计算：．5、如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC＝40cm，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∠ACD＝75°．（1）求点C到AB的距离；（2）求线段AD的长度．6、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB=20，；求：（1）求线段AE的长；（2）求cos∠DAE的值．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据题意连接OB、OP，根据切线长定理即可求得∠BPO=∠APB，在Rt△OBP中利用三角函数即可求解．【详解】解：连接OB、OP，∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，∵⊙O半径为2，即，∴,∴.故选：C.【点睛】本题考查切线的性质定理以及三角函数，根据题意正确构造直角三角形是解题的关键．2、B【分析】利用勾股定理逆定理得出ΔCDB是直角三角形，以及锐角三角函数关系进而得出结论．【详解】解：如图，连接BD，，由网格利用勾股定理得：是直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、余弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3、D【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.【详解】解：∵，∴，∴.故选：D.【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握是解题的关键.4、D【分析】过点A作AD⊥BC于点D，分别在和中，利用锐角三角函数，即可求解．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，

根据题意得：海里，∠ADC=∠ADB=90°，∠CAD=45°，∠BAD=60°，在中，海里，在中，海里，∴海里，即该船行驶的路程为海里．故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．5、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB=3，AC＝2，∴BC=∴tanA=故选：B．

【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．二、填空题1、##0.75【解析】【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数的计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．2、【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值代入计算求解即可．【详解】解：原式故答案为：．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，以及实数的混合运算法则是解题关键．3、①②④【解析】【分析】①证明，由可得；②结合①，证明；③证明，得；④求出和的面积，进而由它们的差可得．【详解】解：，，，，，，故①正确，由①可得：，，，，，故②正确，，，，，，，，，，，，，，故③不正确，，，，，，，，，，故④正确，故答案是：①②④．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是层层递进，下一问要有意识应用前面解析．4、-##-0.5【解析】【分析】根据解特殊角的三角函数值即可解答．【详解】解：∵sin30°=，tan45°=1，原式＝-1＝-．故答案为：-．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，有理数减法，解题的关键是牢记这些特殊三角函数值．5、4；##【解析】【分析】根据题意连接BF，FM，由翻折及BM=ME可得四边形BEFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得BN=BA．先证明△AEF≌△NMF得AE=NM，再证明△FMN∽△CGN可得，进而求解即可．【详解】解：∵BM=BE，∴∠BEM=∠BME，∵AB∥CD，∴∠BEM=∠GCM，又∵∠BME=∠GMC，∴∠GCM=∠GMC，∴MG=GC=2，∵G为CD中点，∴CD=AB=4．连接BF，FM，由翻折可得∠FEM=∠BEM，BE=EF，∴BM=EF，∵∠BEM=∠BME，∴∠FEM=∠BME，∴EF∥BM，∴四边形BEFM为平行四边形，∵BM=BE，∴四边形BEFM为菱形，∵∠EBC=∠EFC=90°，EF∥BG，∴∠BNF=90°，∵BF平分∠ABN，∴FA=FN，∴Rt△ABF≌Rt△NBF（HL），∴BN=AB=4．∵FE=FM，FA=FN，∠A=∠BNF=90°，∴Rt△AEF≌Rt△NMF（HL），∴AE=NM，设AE=NM=x，则BE=FM=4-x，NG=MG-NM=2-x，∵FM∥GC，∴△FMN∽△CGN，∴，即，解得：（舍）或，∴，∴．故答案为：4；.【点睛】本题考查矩形的翻折问题和相似与全等三角形问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性质求解．三、解答题1、【解析】【分析】将式子中特殊角的三角函数值换掉，然后去绝对值，计算负指数幂，最后进行加减运算即可．【详解】解：．【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的运算及绝对值、负指数幂的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．2、（1）见详解；（2）图见详解，.【解析】【分析】（1）由题意根据点在小正方形的顶点上，的面积为即可得到点的位置；（2）由题意根据以为斜边的，点在小正方形顶点上，，即可得到点的位置，进而依据勾股定理即可得出的长．【详解】解：（1）如图，等腰即为所画，由勾股定理可得,的面积为，当AB为底边可得高为5，以为直角作即可，因为所以又因为,所以；（2）如图，即为所画，由勾股定理可得,并且,所以，所以.【点睛】本题主要考查应用与设计作图，熟练掌握勾股定理及其逆用以及三角函数的定义和等腰三角形定义和全等三角形判定性质是解题的关键，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．3、（1）见解析；（2）30°；（3）【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA，则，由OA=OB，得到∠OAB=∠OBA，即可推出，即∠OBA+∠ACB=90°，再由∠OBA=∠CAE，则∠ACB+∠CAE=90°，由此即可证明；（2）如图所示，连接CE，则∠ABC=∠AEC，由，可得∠AEC=30°，则∠ABC=30°；（3）如图所示，过点O作OF⊥AB于F，则BF=AF，设FP=x，可得BP=BF+PF=6+2x，OP=2FP=2x，推出PH=OP+OH=1+2x，则BP=2+4x，从而得到2+4x=6+2x，由此求解即可．【详解】解：（1）如图所示，连接OA，∴，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∴，即∠OBA+∠ACB=90°，又∵∠OBA=∠CAE，∴∠ACB+∠CAE=90°，∴∠ADC=90°，∴AE⊥BC；（2）如图所示，连接CE，∴∠ABC=∠AEC，∵，AE⊥BC，∴，∴∠AEC=30°，∴∠ABC=30°；（3）如图所示，过点O作OF⊥AB于F，∴BF=AF，设FP=x，∴BF=AF=AP+PF=6+x，∴BP=BF+PF=6+2x∵∠ABC=30°，PH⊥BC，∴∠BPH=60°，BP=2PH，又∵OF⊥AB，∴∠OFP=90°，∴∠POF=30°，∴OP=2FP=2x，∴PH=OP+OH=1+2x，∴BP=2+4x，∴2+4x=6+2x，解得x=2，∴PF=2，BF=8，PO=4，∴，∴，∴圆O的半径长为．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数值求度数，勾股定理，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．4、．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5、（1）20cm；（2）【解析】【分析】（1）过C点作CH⊥AB于H，如图，在Rt△BCH中，利用含30°的直角三角形三边的关系易得CH＝BC＝20；（2）在Rt△BCD中利用含30°的直角三角形三边的关系可得CH＝20，BH＝CH＝20，再利用三角形外角性质计算出∠BAC＝45°，则△ACH为等腰直角三角形，所以AH＝CH＝20，然后利用面积法求AD．【详解】解：（1）过C点作CH⊥AB于H，如图，在Rt△BCH中，∵∠B＝30°，∴CH＝BC＝×40＝20cm，即点C到AB的距离为20cm；（2）在Rt△BCH中，∵∠B＝30°，∴CH＝20cm，BH＝CH＝20cm，∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∴∠BAC＝75°﹣30°＝45°，∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH＝CH＝20cm，∴AB＝(20+20)cm，∵AD•BC＝CH•AB，∴AD＝＝(10+10)cm．【点睛】本题主要考查了含