2025中考数学总复习《锐角三角函数》经典例题含答案详解（巩固）

中考数学总复习《锐角三角函数》经典例题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，河坝横断面迎水坡的坡比为：，坝高m，则的长度为（）A．6m B．m C．9m D．m2、在ABC中，，则ABC一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形3、已知，在矩形中，于，设，且，，则的长为（）

A． B． C． D．4、如图，在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正切值是（）A． B． C． D．5、如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东的B处，则该船行驶的路程为（）

A．80海里 B．120海里C．海里 D．海里第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且∠NAD＝30°，AB＝2，P为直线MN上的动点，连BP，将BP绕B点顺时针旋转60°至BQ，连CQ，CQ的最小值是___．2、如图所示为4×4的网格，每个小正方形的边长均为1，则四边形AECF的面积为________；tan∠FAE=_______3、若一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm，此时小球距离桌面的高度为5cm，则这个斜坡的坡度为______．4、如果斜坡的坡度为1∶3，斜坡高为4米，则此斜坡的长为___________米5、如图，等边的边长为2，点O是的中心，，绕点O旋转，分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②四边形的面积始终等于；③；④周长的最小值为3．其中正确的结论是________（填序号）．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一个动点，E为线段AB上的一个动点，使得CDBE．连接DE，以D点为中心，将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，连接线段EF，过点D作射线DR⊥BC交射线BA于点R，连接DR，RF．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BDE≌△RDF；（3）若AB＝AC＝2，P为射线BA上一点，连接PF，请写出一个BP的值，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，并证明．2、（1）解方程：（2）解方程：（用公式法）（3）计算：（4）计算：3、将抛物线，与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的表达式和点D的坐标；（2）∠ACB与∠ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．4、如图，在中，，，．点P从点出发，沿折线向终点C运动，点P在边、边上的运动速度分别为、．在点P的运动过程中，过点P作所在直线的垂线，交边或边于点Q，以为一边作矩形，且，与在的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形与重叠部分的面积为．（1）求边的长．（2）当时，，当时，．（用含t的代数式表示）（3）当点M落在上时，求的值．（4）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与的函数关系式．5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，与BD交O一点，直线EF过点O分别交直线AB，CD，BC于E，F，H．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OC2＝HC•BC，OC：BH＝3，求sin∠BAC；（3）在△AOF中，若AF＝8，AO＝OF＝4，求平行四边形ABCD的面积．6、如图，内接于，弦AE与弦BC交于点D，连接BO，，（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）在（2）的条件下，过点O作于点H，延长HO交AB于点P，若，，求半径的长．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据迎水坡的坡比为：，可知，求出的长度，运用勾股定理可得结果．【详解】解：迎水坡的坡比为：，，即，解得，，由勾股定理得，，故选：．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟知坡比的意义是解本题的关键．2、D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故选：D．【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．3、B【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根据矩形的对边相等可得AD=BC．【详解】解：∵DE⊥AC，

∴∠ADE+∠CAD=90°，

∵∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠ACD=∠ADE=α，

∵矩形ABCD的对边AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

∵cosα=，

∴，

∴AC=×4=，

由勾股定理得，BC==，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=．

故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键．4、D【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．【详解】解：作PM⊥x轴于点M，∵P(6，8)，∴OM=6，PM=8，∴tanα=．故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5、D【分析】过点A作AD⊥BC于点D，分别在和中，利用锐角三角函数，即可求解．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，

根据题意得：海里，∠ADC=∠ADB=90°，∠CAD=45°，∠BAD=60°，在中，海里，在中，海里，∴海里，即该船行驶的路程为海里．故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．二、填空题1、##【解析】【分析】如图，连接交于则先证明把绕顺时针旋转得到证明可得三点共线，在上运动，过作于则重合时，最短，再求解从而可得答案.【详解】解：如图，连接PQ交于则是等边三角形，正方形把绕顺时针旋转得到则三点共线，在上运动，过作于则重合时，最短，是等边三角形，记交于所以CQ的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，得到的运动轨迹是解本题的关键.2、4，【解析】【分析】（1）利用分割的思想得，即可求出；（2）连接，过点作，垂足为点，利用勾股定理求出即可求出．【详解】解：（1）．（2）连接，过点作，垂足为点．．，，∴GF=2⋅∴AG=A∴tan故答案为：4，．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是利用分割的思想进行求解．3、【解析】【分析】过B作BC⊥桌面于C，由题意得AB=10cm，BC=5cm，再由勾股定理求出AC的长度，然后由坡度的定义即可得出答案．【详解】如图，过B作BC⊥桌面于C，由题意得：AB=10cm，BC=5cm，∴，∴这个斜坡的坡度，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．4、【解析】【分析】根据坡度比求出斜坡水平距离，最后利用勾股定理求出斜坡长即可．【详解】解：根据坡度的定义可知，斜坡高：斜坡水平距离=1：3．斜坡高为4米斜坡水平距离为12米．由勾股定理可得：斜坡长为米．故答案为：．【点睛】本题主要是考察了坡度的定义以及勾股定理求边长，熟练掌握坡度定义，求解斜坡水平距离是解决此类问题的关键．5、①③④【解析】【分析】如图：连接OB、OC，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，可证△BOD≌△COE，即BD=CE、OD=OE，则可对①进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=13S△ABC=33，则可对③进行判断；再作OH⊥DE，则DH=EH，计算出S△DOE=34OE2,利用S△DOE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+【详解】解：连接OB、OC，如图，∵等边∴∠ABC=∠ACB=60°,∵点O是△ABC的中心，∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°∵∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，∴∠BOD=∠COE,在△BOD和△COE中{∠BOD=∠COE∴△BOD≌△COE,∴BD=CE，OD=OE，所以①正确；∴S∴四边形ODBE的面积=S△OBC如图：作OH⊥DE，则DH=EH，∵∠DOE=120°,∴∠ODE=_OEH=30°,∴OH=12OE，∴DE=∴即S△DOE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∴S∵BD=CE,∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=2+DE=2+OE当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=∴△BDE周长的最小值=2+1=3,所以④止确．故填①③④．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析；（3）当，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出图形连接；（2）根据可得，证明是等腰直角三角，可得，根据旋转的性质可得，进而根据边角边即可证明△BDE≌△RDF；（3）当时，设，则，分别求得,根据即可求解【详解】（1）如图，（2）DR⊥BC将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，即是等腰直角三角形是等腰直角三角形△BDE≌△RDF；（2）如图，当时，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明如下，是等腰直角三角形，设，则，△BDE≌△RDF,，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，△BDE≌△RDF,即为定值【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，正切的定义，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．2、（1）x1＝﹣1，x2＝﹣3；（2）x1＝，x2＝；（3）；（4）【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可；（3）求出特殊角三角函数值，再计算即可；（4）先计算负指数、特殊角三角函数值、0指数和绝对值，再计算即可．【详解】解：（1）解方程：，，，，x1＝﹣1，x2＝﹣3；（2）解方程：（用公式法）∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴x1＝，x2＝；（3）计算：=，=；（4）计算：，=，=．【点睛】本题考查了解一元二次方程和实数的运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，熟练运用不同方法解一元二次方程．3、（1），；（2）相等，理由见解析；（3），【解析】【分析】（1）根据抛物线与轴交于点和点，将点和点代入，求出即可，再化为顶点式；（2）先由、两点的坐标，得出，再根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，则由正切函数的定义求出，在中，由正切函数的定义也求出，得出，则，即；（3）设点的坐标为，先由相似三角形的形状相同，得出是锐角三角形，则，再根据，得到与是对应点，所以分两种情况进行讨论：①；②．根据相似三角形对应边的比相等列出关于的方程，解方程即可．【详解】解：（1）将点和点代入，，解得：，，，顶点的坐标为；（2）与相等，理由如下：如图，，点时，，即点坐标为，又，，，．在中，，，，，，，在中，，，，，，即；（3）点在平移后的抛物线的对称轴上，而的对称轴为，可设点的坐标为．是锐角三角形，当与相似时，也是锐角三角形，，即点只能在点的下方，又，与是对应点，分两种情况：①如果，那么，即，解得，点的坐标为；②如果，那么，即，解得，点的坐标为．综上可知点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有求抛物线的解析式，对称轴、顶点坐标的求法，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．解题的关键是注意两个三角形相似没有明确对应顶点时要注意分析题意分情况讨论结果．4、（1）；（2）；（3）或；（4）【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；（2）先求解再用含的代数式表示再利用三角函数建立方程求解两种情况下的即可；（3）分两种情况讨论：如图，当在上，落在上，如图，当在上，落在上，则重合，再利用矩形的性质结合三角函数可得结论；（4）如图，当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形，当时，重叠部分为四边形，如图，当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，当第2次落在上时，当时，此时重叠部分的面积为四边形，再利用图形的性质列面积函数关系式即可.【详解】解：（1），，，（2）当时，在上，而四边形为矩形，当时，在上，如图，此时，，，故答案为：（3）如图，当在上，落在上，此时解得：如图，当在上，落在上，则重合，同理可得：解得：（4）当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，此时当落在上时，如图，同理可得：解得：当时，重叠部分为四边形，如图，同理可得：如图，当落在上时，同理可得：而解得：当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，此时当第2次落在上时，当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，同理可得：综上：【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，列面积函数关系式，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解题的关键.5、（1）证明见解析；（2）；（3）80．【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据菱形的判定证出平行四边形是菱形，再根据菱形的性质可得，然后设，从而可得，代入解一元二次方程可得，由此可得，最后在中，利用正弦三角函数的定义即可得；（3）先根据平行四边形的判定证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定证出平行四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，设，从而可得，在中，利用勾股定理可得，最后利用平行四边形的面积公式即可得．【详解】证明：（1）四边形是平行四边形，，，在和中，，；（2），，平分，，，，平行四边形是菱形，，，设可得，由得：，解得或（不符题意，舍去），，在中，；（3）由（1）已证：，，，，即，又，即，四边形是平行四边形，，，，平行四边形是矩形，，，设，则，在中，，即，解得，即，则平行四边形的面积为．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、一元二次方程的应用、正弦三角函数等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．6、（1）见解析；（2）30°；（3）【解析】