2025年中考数学总复习《锐角三角函数》试题及答案详解（易错题）

中考数学总复习《锐角三角函数》试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BH⊥CE于F，交AC于G，交AD于H，下列说法：①；

②点F是GB的中点；③；④S△AHG=S△ABC．其中正确的结论的序号是（）A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④2、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折起，使顶点C落在C′处，若AB=4，DE=8，则sin∠C′ED为（）A．2 B． C． D．3、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于()A． B． C． D．4、cos60°的值为（）A． B． C． D．15、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=4，M为AB的中点，∠PMQ=45°，∠PMQ的两边分别交BC于点P，交AC于点Q，若BP=3，则AQ=_____．2、如图，△ABC中点D为AB的中点，将△ADC沿CD折叠至△A'DC，若4A'C＝A'B，BC＝，cos∠A'BA＝，则点D到AC的距离是___．3、助推轮椅可以轻松解决起身困难问题．如图1是简易结构图，该轮椅前⊙O1和后轮⊙O2的半径分别为0.6dm和3dm，竖直连接处CO1＝1dm，水平连接处BD与拉伸装置DE共线，BD＝2dm，座面GF平行于地面且GF＝DE＝4.8dm，HF是轮椅靠背，∠ADE始终保持角度不变．初始状态时，拉伸杆AD的端点A在点B正上方且距地面2.2dm，则tan∠ADB的值为_____．如图2，踩压拉伸杆AD，装置随之运动，当AD踩至与BD重合时，点E，F，H分别运动到点E'，F'，H'，此时座面GF'和靠背F'H'连成一直线，点H运动到最高点H'，且H'，F，O2三点正好共线，则H'O2的长为_____dm．4、如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为______．5、某人沿着坡度为1∶2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了_________m．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、已知直线m与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥m于点D．（1）如图①，当直线m与⊙O相交于点E、F时，求证：∠DAE=∠BAF．（2）如图②，当直线m与⊙O相切于点C时，若∠DAC=35°，求∠BAC的大小；（3）若PC＝2，PB＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．2、6tan230°﹣sin60°﹣2tan45°3、计算：4、计算：5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线AB﹣BC向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度向终点A运动．以PQ为底边向下作等腰Rt△PQR，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜4）．（1）直接写出AB的长；（2）用含t的代数式表示BP的长；（3）当点R在△ABC的内部时，求t的取值范围．6、．-参考答案-一、单选题1、D【分析】①先证明△ABH≌△BCE，得AH=BE，则，即，再根据平行线分线段成比例定理得：即可判断；②设BF=x，CF=2x，则BC=x，计算FG=即可判断；③根据等腰直角三角形得：AC=AB，根据①中得：即可判断；④根据，可得同高三角形面积的比，然后判断即可．【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠HAB=∠ABC=90°，∵CE⊥BH，∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，∴∠BCF=∠ABH，∴△ABH≌△BCE，∴AH=BE，∵E是正方形ABCD边AB的中点，∴BE=AB，∴，即∵AH//BC，∴∴，故①正确；②设BF=x，CF=2x，则BC=x，∴AH=x∴∴，故②不正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AC=AB，∵∴∴，故③正确；④∵∴∴∴，故④正确．故选D．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．2、B【分析】由折叠可知，C′D=CD=4，再根据正弦的定义即可得出答案．【详解】解：∵纸片ABCD是矩形，∴CD=AB，∠C=90°，由翻折变换的性质得，C′D=CD=4，∠C′=∠C=90°，∴．故选：B．【点睛】本题可以考查锐角三角函数的运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．3、A【分析】由三角函数的定义可知sinA=，可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3，再利用余弦的定义代入计算即可．【详解】解：∵sinA=，∴可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3，∴cosA=，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．4、C【分析】根据特殊角的余弦值即可得．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了特殊角的余弦，熟记特殊角（如）的余弦值是解题关键．5、B【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可．【详解】解：由勾股定理得：，所以，，，，即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误．故选：B．【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，由勾股定理得，根据三线合一得，解直角三角形即可求解．【详解】如图，连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，在中，，∵M为AB的中点，∴∵，∴，，∵在中，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴在中，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．2、5【解析】【分析】过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，过点B作BG⊥A'C交CA延长线于点G，连接AA’交CD于点E，设A'B=4m，则A'C=73m，将∆ADC沿CD折叠至A’DC，由等边对等角可得∠A'AD=∠AA'D，∠CAE=∠CA'E，∠ABA'=∠BA'D，根据三角形内角和定理可得∠AA'B=∠BA'D+∠A【详解】解：过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，过点B作BG⊥A'C交CA延长线于点G，连接AA’交CD于点E，∵4A设A'B=4m，则将∆ADC沿CD折叠至A’DC，∴AA'⊥CD，AC=AAD=A'D，AE=A'E，∠A'AD=∠AA'D，∠CAE=∠CA'E，∵点D为AB中点，∴AD=BD，∴BD=A'D，∴∠ABA'=∠BA'D，∵∠ABA∴2∠B∴∠AA∵cos∠A'BA∴AB=213∴AD=BD=1∵∠AA∴AA∴AE=A∵AA'⊥CD，∴CE=ACDE=AD∴CD=CE+DE=10m，∵BG⊥A'C，∴∠A∵∠AA'B=90°，∴∠CA'E+∠BA∴∠A∵∠CA'E=∠CAE，∴∠A在∆A'GB与∆CEA中，∠A'BG=∠CAE∆A'GB~∆CEA，∴A'GCE∴A'G8m∴A'G=32∴CG=A∵BG⊥A'C，∴CG2∴(105解得：m2∴m=1∵AA'⊥CD，DF⊥AC，∴S∆ACD∴DF=CD×AE∴点D到AC的距离为573故答案为：573【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质、利用锐角三角函数解三角形、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用各个知识点是解题关键．3、；；【解析】【分析】根据题意求得到的距离，进而根据正切的定义可得;如图2，过点作交的延长线于点，解直角三角形即可解决问题【详解】解：拉伸杆AD的端点A在点B正上方且距地面2.2dm，BD＝2dm，⊙O1半径分别为0.6dm，竖直连接处CO1＝1dm，设到的距离为，则dm如图1，连接，过点作，中∠ADE始终保持角度不变．GF＝DE，四边形是平行四边形装置运动后，如图2，过点作交的延长线于点，则设，则，，解得故答案为：，【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形的应用，两图中有一个角是相等的，找到这个角的并求得它的正切值为是解题的关键．4、【解析】【分析】如图，连接AD，PA，PD，OD．首先证明PA=PB，再根据PD+PB=PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．【详解】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．∵OC⊥AB，OA=OB，∴PA=PB，∠COB=90°，∵，∴∠DOB=×90°=60°，∵OD=OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD=60°∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD=AB•sin∠ABD=2，∵PB+PD=PA+PD≥AD，∴PD+PB≥2，∴PD+PB的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．5、50【解析】【分析】设高度上升了h，则水平前进了2.4h，然后根据勾股定理解答即可．【详解】设高度上升了h，则水平前进了2.4h，由勾股定理得：，解得：．故答案为：50．【点睛】本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h的方程成为解答本题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）通过已知条件可知，，再通过同角的补交相等证得，即可得到答案；（2）利用，得，再通过OA=OC，得；（3）现在中，利用勾股定理求得半径r=2，再通过，得，即可求得，那么，即可求解．【详解】解：（1）如图，连接BF∵AD⊥m∴∵AB是⊙O的直径∴∴∵，∴∴∠DAE=∠BAF（2）连接OC∵直线m与⊙O相切于点C∴∵AD⊥m∴∴∵OA=OC∴（3）连接OC∵直线m与⊙O相切于点C∴设半径OC=OB=r在中，则：∴解得：r=2，即OC=r=2∴∴∴∴．【点睛】本题考查了圆切线、内接四边形的性质，以及解直角三角形的应用，扇形面积求法，解答此题的关键是掌握圆的性质．2、【解析】【分析】将，，代入式子计算即可．【详解】解：，，，∴原式，．【点睛】题目主要考查特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．3、7【解析】【分析】根据，立方根的求法，特殊三角函数的值，积的乘方，计算即可得答案．【详解】解：==1-2+6-（-2）=7【点睛】本题考查了二次根式、零指数幂、特殊三角函数的值、积的乘方的相关计算，做题的关键是掌握相关法则，特别积的乘方的逆运算，认真计算．4、【解析】【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：原式=1×（﹣1）+9++2×＝＝．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．5、（1）AB＝5cm；（2）当0＜t≤时，BP＝5﹣2t，当＜t＜4时，BP＝2t﹣5；（3）＜t＜．【解析】【分析】（1）由勾股定理可求得答案；（2）分0＜t≤和t＜4两种情况列式即可；（3）当点P在AB上时，以点C为原点，分别以BC、AC所在的直线为x，y轴建立坐标系，作PD⊥AC于D，RE⊥PD于E，QG⊥RE于G，求出此时t的值即可解决问题；【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝＝＝5（cm）；（2）当0＜t≤时，BP＝AB﹣AP＝5﹣2t，当t＜4时，BP＝2t﹣AB＝2t﹣5；（3）如图，当点P在BC上时，R在△ABC外部，当点P在AB上时，以点C为原点，分别以BC、AC所在的直线为x，y轴建立坐标系，作PD⊥AC于D，RE⊥PD于E，QG⊥RE于G，∴∠E＝∠G＝90°，∴∠PRE+∠RPE＝90°，∵∠PRQ＝90°，∴∠PRE+∠GRQ＝90°，∴∠RPE＝∠GRQ，∵PR＝QR，∴△PER≌△RGQ（AAS），∴PE＝RG，ER＝GQ，∵AP＝2t，sin∠BAC＝，cos＝，∴PD＝2t•sin∠BAC＝，AD＝2t•cos∠BAC＝，设点R（x，y），∴PE＝﹣，RG＝y﹣t，GQ＝﹣x，ER＝4﹣﹣y，∴，∴，∴y＝﹣，∴