2025年中考数学总复习《锐角三角函数》过关检测试卷及参考答案详解AB卷

中考数学总复习《锐角三角函数》过关检测试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（）

A． B．C． D．2、△ABC中，tanA＝1，cosB＝，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形3、如图，∠ACB＝60○，半径为1的⊙O切BC于点C，若将⊙O在直线CB上沿某一方向滚动，当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A． B． C．π或 D．或4、将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（）A． B． C． D．5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则sinA的值是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知0°<a<90°，当a=_________时，sina=；当a=_________时，tana=．2、如图，点A、B、C都在格点上，则∠CAB的正切值为______．3、如图，在中，，，，以为边向外作等边，则的长为_______．4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2．以点A为圆心，AC长为半径作弧交AB于点D，再以点B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为______．5、计算：2cos60°+（π﹣1）0＝_____．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、计算：4sin60°﹣|﹣2|﹣+（﹣1）20212、如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作交AC或BC于点Q，分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设与重叠部分的面积为S，点P运动的时间为秒．（1）当点Q在AC上时，CQ的长为______（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC上时，求t的值．（3）当与的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）点N为PM中点，直接写出点N到的两个顶点的距离相等时t的值．3、如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为多少米？（结果保留小数点后一位）．（参考数据，，）4、如图，在平行四边形ABCD中，，过点B作于E，连结AE，，F为AE上一点，且．（1）求证：．（2）BF的长为______．5、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C距离公路AB的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，，，，，，）6、如图，内接于，弦AE与弦BC交于点D，连接BO，，（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）在（2）的条件下，过点O作于点H，延长HO交AB于点P，若，，求半径的长．-参考答案-一、单选题1、D【分析】本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【详解】如图，AS交圆于点E，连接EB，

由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．

所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．

∴cos∠ASB＞cos50°，

故选：D．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2、C【分析】先根据△ABC中，tanA=1，cosB=求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵△ABC中，tanA=1，cosB=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．3、D【分析】当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，然后根据锐角三角函数的知识求解；同理求出另一种情况的值．【详解】解：如图1，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，∴OW=CF，WF=1，∵∠ACB＝60○，∴∠WCF=∠ACB=30°，所以点O移动的距离为OW=CF===．如图2，当圆O滚动到圆O′位置与CA，CB相切，切点分别为F，E，连接OO′，O′E，O′C，O′F，OC，则四边形OCEO′是矩形，∴OO′=CE，∵∠ACB＝60○，∴∠ACE＝120○，∴∠O′CE=60°，∴点O移动的距离为OO′=CE===，·故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与切线长定理，矩形的判定与性质，以及三角函数等知识．解此题的关键是根据题意作出图形，注意数形结合思想的应用．4、D【分析】由∠AFE＋∠CFD＝90°得，根据折叠的定义可以得到CB＝CF，则，即可求出的值，继而可得出答案．【详解】∵∠AFE＋∠CFD＝90°，∴，由折叠可知，CB＝CF，矩形ABCD中，AB＝CD，．故选：D．【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB＝CF．5、A【分析】先根据银河股定理求出AB，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：如图，∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，∴∴，故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键．二、填空题1、30°60°【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可以得解．【详解】解：因为，故答案为①30°；②60°．【点睛】本题考查三角函数的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．2、##0.5【解析】【分析】过作垂直于的延长线于点，则为直角三角形，解直角三角形即可求解．【详解】如图：过作垂直于的延长线于点，为直角三角形在中故答案为：【点睛】本题考查的是解直角三角形，解题关键是结合网格的特点构造直角三角形，利用锐角三角形函数解答．3、【解析】【分析】将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．作交的延长线于点，证明，可得，再分别求解，，从而利用勾股定理可得答案.【详解】解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．作交的延长线于点．是等边三角形，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，在中，，，故答案为．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形与直角三角形是解本题的关键.4、【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，求出∠B和∠A的度数，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求出△ACB和扇形ACD、扇形BDE的面积，最后求出答案即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，∴由勾股定理得：AB=4，∴，∴∠B＝30°，∠A＝60°，由题意，AC=AD=2，则BD=AB-AD=2，∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形ACD﹣S扇形BDE，故答案为：．【点睛】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，以及扇形面积相关计算问题，掌握特殊角的三角函数值，以及扇形的面积计算公式是解题关键．5、2【解析】【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：2cos60°+（π﹣1）0=1+1=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、特殊角的三角函数值等考点的运算．三、解答题1、-3【解析】【分析】根据特殊角三角函数，绝对值，有理数的乘方，化简二次根式的计算法则求解即可．【详解】解：原式==-3．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数，绝对值，有理数的乘方，二次根式的化简，熟知相关近计算法则是解题的关键．2、（1）；（2）；（3）当，；当时，（4），，．【解析】【分析】（1）根据∠C=90°，AB=5，AC=4，得cosA=，即，又因为AP=4t，AQ=5t，即可得答案；（2）由AQPM，APQM，可得，证△CQM∽△CAB，可得答案；（3）当时，根据勾股定理和三角形面积可得；当，△PQM与△ABC的重合部分不为三角形；当时，由S=S△PQB-S△BPH计算得；（4）分3中情况考虑，①当N到A、C距离相等时，过N作NE⊥AC于E，过P作PF⊥AC于F，在Rt△APF中，cosA=，解得t=，②当N到A、B距离相等时，过N作NG⊥AB于G，同理解得t=，③当N到B、C距离相等时，可证明AP=BP=AB=，可得答案．【详解】（1）如下图：∵∠C=90°，AB=5，AC=4，∴cosA=∵PQ⊥AB，∴cosA=∵动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，点P运动的时间为t(t>0)秒，∴AP=4t，∴∴AQ=5t，∴CQ=AC-AQ=4-5t，故答案为：4-5t；（2）∵AQPM，APQM，∴四边形AQMP是平行四边形．∴．当点M落在BC上时，∵APQM，∴．∵，∴△CQM∽△CAB，∴．∴．∴．∴当点M落在BC上时，；（3）当时，此时△PQM与△ABC的重合部分为三角形，由（1）（2）知：，，∴PQ=AQ∵∠PQM=∠QPA=90°∴S=1当Q与C重合时，CQ=0，即4-5t=0，∴t=当，△PQM与△ABC的重合部分不为三角形，当时，如下图：∵AP=4t，∴PB=5-4t，∵PMAC∴PHAC=∴PH=4(5−4t)∵ACBC∴43∴PQ=4(5−4t)∴S=S△PQB-S△BPH，==1=512综上所述：当，；当时，（4）①当N到A、C距离相等时，过N作NE⊥AC于E，过P作PF⊥AC于F，如图：∵N到A、C距离相等，NE⊥AC，∴NE是AC垂直平分线，∴AE=AC=2，∵N是PM中点，∴PN=PM=AQ=52t∴AF=AE-EF=2-5在Rt△APF中，cosA=∴45解得t=②当N到A、B距离相等时，过N作NG⊥AB于G，如图：∴AG=AB=∴PG=AG-AP=-4t∴cos∠NPG=cosA=∴PGPN而PN=PM=AQ=t∴52解得t=③当N到B、C距离相等时，连接CP，如图：∵PMAC，AC⊥BC∴PM⊥BC，∴N到B、C距离相等，∴N在BC的垂直平分线上，即PM是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴∠PCB=∠PBC，∴90°-∠PCB=90°-∠PBC，即∠PCA=∠PAC，∴PC=PA，∴AP=BP=AB=，∴t=AP4综上所述，t的值为或或58【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及平行四边形、三角形面积、垂直平分线等知识，解题的关键是分类画出图形，熟练应用锐角三角函数列方程．3、建筑物BC的高约为24.2米【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：，，，，是等腰直角三角形，，设，则，在中，，即，解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，∴建筑物BC的高约为24.2米，答：建筑物BC的高约为24.2米．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．4、（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）可通过证明，，证得△ABF∽△EAD；（2）根据平行线的性质得到BE⊥AB，根据三角函数的定义得到sin∠AEB=，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴，．∵，，∴．∴．（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，∴BE⊥AB．∴∠ABE=90°．在Rt△ABE中，，∴sin∠AEB=，∵由（1）知，△ABF∽△EAD，∴，∵AD=3，∴BF=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，同时也用到了平行四边形的性质和等角的补角相等等知识点．5、126米/分钟【解析】【分析】过作于，则米，由解直角三角形求出AD和BD的长度，则求出AB的长度，即可求出小明的速度．【详解】解：过作于，则米，∴，∴，∴，同理：速度：631÷5≈126（米/分钟）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD和BD的长度．6、（1）见解析；（2）30°；（3）【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA，则，由OA=OB，得到∠OAB=∠OBA，即可推出，即∠OBA+∠ACB=90°，再由∠OBA=∠CAE，则∠ACB+∠CAE=90°，由此即可证明；（2）如图所示