2025年下学期初中数学冬令营选拔试卷

2025年下学期初中数学冬令营选拔试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1.已知实数(a,b)满足(a+b=5)，(ab=3)，则代数式(a^3b+ab^3)的值为（）A.75B.80C.85D.902.定义新运算“※”：对于任意实数(x,y)，有(x※y=ax+by+c)（其中(a,b,c)为常数）。若(1※2=3)，(2※3=4)，(3※4=5)，则(4※5)的值为（）A.6B.7C.8D.93.如图，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，点(E)为(BC)上一点，将(\triangleABE)沿(AE)折叠，点(B)的对应点(B')恰好落在对角线(AC)上，则(BE)的长度为（）A.2B.3C.4D.54.若关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)的两个实根(x_1,x_2)满足(x_1^2+x_2^2=10)，则(m)的值为（）A.-1B.3C.-1或3D.1或-35.设(S=\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}+\cdots+\frac{1}{4049})，则(S)的整数部分为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6.已知正整数(n)满足(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\frac{1}{2025})，则(n)的最小值为________。7.如图，在(\triangleABC)中，(\angleBAC=90^\circ)，(AB=AC=4)，点(D,E)分别在(AB,AC)上，且(AD=AE=1)，连接(DE)并延长交(BC)于点(F)，则(DF)的长度为________。8.若关于(x)的不等式组(\begin{cases}x-a\geq0\3-2x>-1\end{cases})的整数解共有3个，则(a)的取值范围是________。9.现有编号为1~6的6张卡片，卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,6。从中随机抽取2张卡片，记卡片上的数字分别为(m,n)（(m<n)），则(\frac{m}{n})为最简分数的概率是________。10.已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像经过点((1,2))，((2,3))，((3,6))，则该函数图像与(x)轴的交点坐标为________。三、解答题（共4小题，第11~12题每题20分，第13~14题每题25分，满分90分）11.（本题满分20分）已知关于(x)的方程(kx^2-(k+3)x+3=0)（(k\neq0)）。（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个根均为正整数，求整数(k)的值；（3）在（2）的条件下，若抛物线(y=kx^2-(k+3)x+3)与(x)轴交于(A,B)两点（(A)在(B)左侧），与(y)轴交于点(C)，点(P)为抛物线上一点，且(\trianglePAB)的面积是(\triangleABC)面积的2倍，求点(P)的坐标。12.（本题满分20分）如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)为直径的(\odotO)交(BC)于点(D)，交(AC)于点(E)，连接(AD,BE)交于点(F)。（1）求证：(BD=CD)；（2）若(\angleBAC=60^\circ)，(AB=4)，求(DF)的长度；（3）在（2）的条件下，连接(OD)，判断四边形(AODE)的形状，并说明理由。13.（本题满分25分）已知点(A(0,3))，(B(4,0))，点(P)为线段(AB)上一动点（不与(A,B)重合），过点(P)分别作(PD\perpy)轴于点(D)，(PE\perpx)轴于点(E)，设矩形(PDOE)的面积为(S)，点(P)的横坐标为(t)。（1）求线段(AB)的函数表达式；（2）求(S)关于(t)的函数表达式，并求出(S)的最大值；（3）在点(P)运动过程中，是否存在点(P)使得(\triangleAPD)与(\triangleBPE)相似？若存在，求出(t)的值；若不存在，说明理由。14.（本题满分25分）定义：对于正整数(n)，若存在正整数(a,b)，使得(n=a^2-b^2)，则称(n)为“智慧数”。例如，(5=3^2-2^2)，则5是智慧数。（1）判断10是否为智慧数，并说明理由；（2）求出不大于2025的所有智慧数的个数；（3）已知一个三位“智慧数”(n)，其各位数字之和为12，且十位数字比个位数字大1，求满足条件的所有(n)。附加题（共2小题，每小题10分，满分20分，不计入总分，供学有余力的同学选做）1.如图，在(\triangleABC)中，(\angleACB=90^\circ)，(AC=BC)，点(D)为(AB)的中点，点(E,F)分别在(AC,BC)上，且(DE\perpDF)，若(AE=3)，