2025年下学期初中数学竞赛创新探索试卷

2025年下学期初中数学竞赛创新探索试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）定义新运算“⊗”：对于任意实数a，b，有a⊗b=(a²-b)×(b+√a)，则(4⊗1)⊗2的值为（）A.210B.252C.324D.368某几何体的三视图如图所示（单位：cm），已知俯视图是边长为4的正方形，左视图是腰长为5的等腰三角形，则该几何体的表面积为（）A.80cm²B.96cm²C.112cm²D.128cm²若关于x的方程x⁴-(m+2)x²+m=0有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m>1B.0<m<1C.m<0D.m>4在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，点D为△ABC内一点，满足∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°，则点D的坐标为（）A.(2+√3,3-√3)B.(3-√3,2+√3)C.(2-√3,3+√3)D.(3+√3,2-√3)已知a，b，c为正整数，且a²+b³=c⁴，若a<b<c，则a+b+c的最小值为（）A.10B.14C.18D.22如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发沿AC方向以1单位/秒的速度运动，点Q从点C出发沿CB方向以2单位/秒的速度运动，P，Q同时出发，当一点到达终点时两点停止运动，设运动时间为t秒，则△PQE（E为PQ中点）的面积S与t的函数关系为（）A.S=-t²+6tB.S=-0.5t²+3tC.S=-t²+4tD.S=-0.5t²+2t已知函数y=|x²-4x+3|-kx有4个不同的零点，则k的取值范围是（）A.0<k<4-2√3B.4-2√3<k<1C.1<k<4+2√3D.k>4+2√3某密码锁的密码由3个数字组成（每个数字0-9），若连续3次输入错误密码则锁死。小明忘记了密码，但记得：①数字之和为10；②没有重复数字；③三个数字均不为0。则小明在锁死前能尝试成功的概率为（）A.1/5B.2/7C.3/8D.4/11二、填空题（共6小题，每题6分，共36分）分解因式：x⁵+x⁴+x³+x²+x+1=____________。如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，半径分别为3和5，直线AB为两圆的外公切线，A，B为切点，连接O₁A，O₂B，O₁O₂，则阴影部分（四边形ABO₂O₁）的面积为_________。已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=(aₙ+3)/(aₙ-1)（n≥1），则a₂₀₂₅=_________。在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE沿DE折叠，点A落在BC边上的点A'处，则DE的长度为_________。若关于x的不等式组(\begin{cases}x-m>0\3x-2m<1\end{cases})的所有整数解之和为6，则m的取值范围是_________。现有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，从中随机抽取3张卡片，将卡片上的数字按从小到大排列得到三位数，则该三位数能被3整除的概率为_________。三、解答题（共6小题，共70分）15.（10分）已知a，b为实数，且满足a²+4b²=12ab-16，求代数式(\frac{a+2b}{a-2b})的值。16.（12分）如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，F为CD上一点，且CF=1/4CD，连接AE，AF，EF。（1）求证：△AEF为直角三角形；（2）若正方形边长为4，求△AEF内切圆的半径。17.（12分）某科技公司研发了一款新型节能设备，每台设备成本为2000元，售价为3000元。为鼓励客户购买，公司推出以下优惠方案：一次性购买不超过10台：按原价销售；一次性购买超过10台但不超过50台：每多买1台，售价降低20元（例如，购买11台时售价为2980元/台）；一次性购买超过50台：统一售价为2200元/台。设客户一次性购买x台设备，公司的利润为y元。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）客户一次性购买多少台时，公司利润最大？最大利润为多少？18.（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)，点P为抛物线上一动点（不与A，B重合），连接PA，PB。（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，求线段PE的最大值；（3）是否存在点P，使得△PAB为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。19.（12分）定义：若一个正整数n能表示为两个连续偶数的平方差，则称n为“和谐数”。例如，4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此4，12，20都是“和谐数”。（1）判断2024是否为“和谐数”，并说明理由；（2）证明：所有“和谐数”都能被4整除，但不能被8整除；（3）求不超过2025的所有“和谐数”之和。20.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D为AB中点，点E，F分别在AC，BC上，且AE=CF，连接DE，DF，EF。（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）设AE=x，△DEF的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求出S的最小值；（3）当△DEF的面积最小时，在直线AB上是否存在点P，使得以P，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。四、创新探究题（共2小题，共24分）21.（12分）在平面几何中，我们学习过“三角形的重心”（三条中线的交点）、“外心”（外接圆圆心）、“内心”（内切圆圆心）等特殊点。请回答以下问题：（1）定义“准重心”：在△ABC中，若点G满足AG²+BG²+CG²的值最小，则称G为△ABC的“准重心”。证明：△ABC的重心即为“准重心”；（2）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求“准重心”G到BC边的距离。22.（12分）数学建模问题：某社区计划修建一个矩形休闲广场，广场内部规划一个圆形花坛，要求花坛面积尽可能大，且花坛边缘到广场四边的距离均不小于2米。若广场周长固定为100米，设广场的长为x米，花坛的半径为r米。（1）写出r关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）当x为何值时，花坛面积最大？最大面积为多少？（3）若在（2）的条件下，广场四角规划为扇形绿化区（半径等于花坛半径），求广场总面积（含花坛和绿化区）与广场面积的比值。参考答案及评分标准（此处省略