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文档简介
动量与能量综合问题试卷一、选择题(共5小题,每题6分,共30分)1.碰撞过程中的守恒量判断质量为m的小球A以速度v₀与静止的质量为2m的小球B发生弹性正碰,碰撞后两球的动量变化量大小分别为Δpₐ和Δpᵦ,动能变化量分别为ΔEₖₐ和ΔEₖᵦ。下列关系正确的是()A.Δpₐ=Δpᵦ=mv₀/3B.ΔEₖₐ=ΔEₖᵦ=2mv₀²/9C.碰撞后A球速度为-v₀/3,B球速度为2v₀/3D.碰撞过程中系统机械能损失为mv₀²/3解析:弹性碰撞同时满足动量守恒和机械能守恒。设碰撞后A、B速度分别为v₁、v₂,取v₀方向为正方向:动量守恒:mv₀=mv₁+2mv₂机械能守恒:½mv₀²=½mv₁²+½·2mv₂²联立解得v₁=-v₀/3,v₂=2v₀/3(选项C正确)。动量变化量:Δpₐ=m(v₁-v₀)=-4mv₀/3(大小4mv₀/3),Δpᵦ=2m(v₂-0)=4mv₀/3(选项A错误)。动能变化量:ΔEₖₐ=½m(v₁²-v₀²)=-4mv₀²/9,ΔEₖᵦ=½·2m(v₂²-0)=4mv₀²/9(选项B错误)。弹性碰撞无机械能损失(选项D错误)。2.板块模型中的能量转化质量为M的木板静止在光滑水平面上,质量为m的滑块以初速度v₀滑上木板,滑块与木板间动摩擦因数为μ。下列说法正确的是()A.若滑块未滑离木板,系统最终动能为mv₀²/2(M+m)B.滑块相对木板滑行的距离为v₀²/2μg(M+m)/MC.摩擦力对滑块做的功等于滑块动能的减少量D.系统产生的热量与木板获得的动能之比为m:M解析:系统水平方向动量守恒,最终共同速度v=mv₀/(M+m),系统最终动能Eₖ=½(M+m)v²=m²v₀²/2(M+m)(选项A错误)。由能量守恒:μmgL=½mv₀²-½(M+m)v²,解得相对滑行距离L=Mv₀²/2μg(M+m)(选项B错误)。由动能定理,摩擦力对滑块做的功W=½mv²-½mv₀²=-μmgx₁(x₁为滑块位移),等于滑块动能减少量(选项C正确)。系统产热Q=μmgL=Mmv₀²/2(M+m),木板动能Eₖₘ=½Mv²=Mm²v₀²/2(M+m)²,Q:Eₖₘ=(Mmv₀²/2(M+m)):(Mm²v₀²/2(M+m)²)=(M+m):m(选项D错误)。3.弹簧模型中的动量与能量水平面上固定挡板P,质量为m的物块A与劲度系数为k的轻弹簧相连,静止在光滑水平面上。质量为2m的物块B以速度v₀冲向A,压缩弹簧至最短后被弹回。下列说法正确的是()A.弹簧最大弹性势能为mv₀²/3B.弹簧恢复原长时A的速度为4v₀/3C.整个过程中A、B组成的系统动量守恒D.弹簧压缩量最大时,A、B的加速度大小之比为1:2解析:弹簧压缩至最短时二者共速v,系统动量守恒(挡板P对A有作用力,全过程动量不守恒,但压缩阶段B与A动量守恒):2mv₀=(m+2m)v→v=2v₀/3。最大弹性势能Eₚ=½·2mv₀²-½·3mv²=½·2mv₀²-½·3m(4v₀²/9)=mv₀²-2mv₀²/3=mv₀²/3(选项A正确)。弹簧恢复原长时,由动量守恒2mv₀=mvₐ+2mvᵦ,机械能守恒½·2mv₀²=½mvₐ²+½·2mvᵦ²,联立解得vₐ=4v₀/3,vᵦ=-v₀/3(选项B正确)。因挡板P存在,系统总动量不守恒(压缩阶段动量守恒,弹回阶段A受挡板作用力)(选项C错误)。弹簧压缩量最大时,弹力F=kx,A的加速度aₐ=F/m=kx/m,B的加速度aᵦ=F/(2m)=kx/(2m),aₐ:aᵦ=2:1(选项D错误)。4.多体碰撞问题质量均为m的三个小球A、B、C在光滑水平面上依次排列,A以速度v₀与静止的B碰撞后粘在一起,随后与静止的C发生弹性碰撞。则最终三球的动量大小关系为()A.pₐ=pᵦ=pₑB.pₐ=pᵦ<pₑC.pₐ<pᵦ=pₑD.pₐ+pᵦ=pₑ解析:A与B碰撞(完全非弹性):mv₀=2mv₁→v₁=v₀/2,动量p₁=2mv₁=mv₀。AB整体与C弹性碰撞:2mv₁=2mv₂+mv₃(动量守恒),½·2mv₁²=½·2mv₂²+½mv₃²(机械能守恒),联立解得v₂=v₀/6,v₃=2v₀/3。最终动量:pₐ=pᵦ=m·v₀/6=mv₀/6,pₑ=m·2v₀/3=2mv₀/3,故pₐ=pᵦ<pₑ(选项B正确)。5.曲线运动中的动量与能量质量为m的小球从半径为R的光滑圆弧轨道顶端由静止释放,在最低点与质量为2m的静止物块发生弹性碰撞,物块与水平面间动摩擦因数μ=0.5。则物块滑行的距离为()A.RB.2RC.3RD.4R解析:小球下滑过程机械能守恒:mgR=½mv₁²→v₁=√(2gR)。弹性碰撞:mv₁=mv₂+2mv₃,½mv₁²=½mv₂²+½·2mv₃²,解得v₃=2v₁/3=2√(2gR)/3。对物块由动能定理:-μ·2mg·s=0-½·2mv₃²→s=v₃²/(2μg)=(8gR/9)/(2×0.5g)=(8R/9)/1=8R/9≈0.89R(无正确选项,可能题目数据调整为μ=0.25,则s=(8R/9)/(0.5g)=16R/9≈1.78R,仍不匹配。若碰撞为完全非弹性,v=√(2gR)/3,s=(2gR/9)/(2×0.5g)=2R/9,亦不匹配。推测原题正确答案为B,可能计算中取g=10m/s²或数据修正)。二、计算题(共3小题,共70分)6.(20分)板块与弹簧综合问题如图所示,质量M=2kg的木板静止在光滑水平面上,木板左端固定劲度系数k=100N/m的轻弹簧,右端用长L=0.5m的轻绳连接质量m=1kg的物块B(可视为质点),物块B与木板间动摩擦因数μ=0.2。质量m₀=1kg的滑块A以v₀=6m/s的速度滑上木板左端,压缩弹簧至最短后被弹回,最终滑块A从木板左端离开,物块B始终未脱离木板。重力加速度g=10m/s²。求:(1)弹簧的最大压缩量;(2)滑块A离开木板时的速度大小;(3)整个过程中系统产生的热量。解析:(1)滑块A与木板(含B)相互作用,当弹簧压缩至最短时,A与木板具有共同速度v₁。系统动量守恒:m₀v₀=(m₀+M+m)v₁→1×6=(1+2+1)v₁→v₁=1.5m/s。由能量守恒:½m₀v₀²=½(m₀+M+m)v₁²+μm₀gL₁+½kx²(L₁为A相对木板位移,x为弹簧压缩量)。但A在木板上滑行时,B与木板间无相对滑动(轻绳未绷紧),摩擦力仅A与木板间μ=0.2。设A相对木板滑行距离为L₁=x(压缩阶段),则:½×1×6²=½×4×1.5²+0.2×1×10×x+½×100x²18=4.5+2x+50x²→50x²+2x-13.5=0→x=(-2±√(4+4×50×13.5))/100=(-2+√2704)/100=(-2+52)/100=0.5m。(2)滑块A被弹回至弹簧恢复原长时,设A速度v₂,木板(含B)速度v₃。系统动量守恒:m₀v₀=m₀(-v₂)+(M+m)v₃(A向左为负)→6=-v₂+3v₃。能量守恒:½m₀v₀²=½m₀v₂²+½(M+m)v₃²+μm₀g·2x(A往返滑行2x)18=½×1×v₂²+½×3v₃²+0.2×1×10×1→18=0.5v₂²+1.5v₃²+2→0.5v₂²+1.5v₃²=16。联立v₂=3v₃-6代入:0.5(3v₃-6)²+1.5v₃²=16→0.5(9v₃²-36v₃+36)+1.5v₃²=16→4.5v₃²-18v₃+18+1.5v₃²=16→6v₃²-18v₃+2=0→v₃=(18±√(324-48))/12=(18±√276)/12≈(18+16.61)/12≈2.88m/s(舍负),v₂=3×2.88-6≈2.64m/s。(3)系统产生的热量包括A与木板摩擦生热Q₁=μm₀g·2x=0.2×1×10×1=2J,以及B与木板间摩擦生热。当木板加速时,B受绳拉力和摩擦力,若木板加速度a≤μg=2m/s²,B与木板无相对滑动。木板最大加速度a=F/m=(kx+μm₀g)/M=(100×0.5+2)/2=52/2=26m/s²>μg,故B相对木板滑动。对B:μmg=ma→a=2m/s²,木板加速度a'=(kx-μmg)/M=(100x-2)/2=50x-1。相对加速度aᵣ=a'-a=50x-3,相对位移s=∫(v'-v)dt=∫aᵣdt²/2,积分复杂,简化认为全过程B相对木板滑行s',则Q₂=μmgs'。但题目中“物块B始终未脱离木板”,且轻绳长L=0.5m,故s'=L=0.5m,Q₂=0.2×1×10×0.5=1J。总热量Q=Q₁+Q₂=3J。7.(25分)碰撞与圆弧轨道综合问题如图所示,光滑水平面上有质量M=3kg的圆弧轨道,轨道半径R=0.45m,其底部与水平面平滑连接。质量m₁=1kg的小球A从轨道顶端由静止释放,与静止在水平面上质量m₂=2kg的小球B发生弹性碰撞,碰撞后B滑上倾角θ=37°的粗糙斜面,斜面动摩擦因数μ=0.5,斜面足够长。sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s²。求:(1)小球A滑到轨道底部时的速度大小;(2)碰撞后小球B的速度大小;(3)小球B沿斜面上升的最大高度;(4)小球B返回斜面底端时的动能。解析:(1)A下滑过程,A与轨道组成的系统水平方向动量守恒(轨道可动),设A滑到底部时速度v₁,轨道速度v₂:m₁v₁-Mv₂=0→v₂=m₁v₁/M=v₁/3。机械能守恒:m₁gR=½m₁v₁²+½Mv₂²→1×10×0.45=½×1×v₁²+½×3×(v₁/3)²→4.5=0.5v₁²+0.5×3×v₁²/9=0.5v₁²+v₁²/6=(3v₁²+v₁²)/6=4v₁²/6→v₁²=6.75→v₁=2.598m/s≈2.6m/s。(2)A与B弹性碰撞,轨道速度v₂=v₁/3≈0.866m/s,A相对地面速度v₁=2.6m/s,故A相对B的碰撞速度vₐ=v₁+v₂=3.466m/s(轨道向左运动,A向右,相对速度为二者之和)。动量守恒:m₁v₁-Mv₂+m₂×0=m₁v₁'+Mv₂'+m₂v₂(轨道质量大,碰撞瞬间速度不变v₂'=v₂),简化为m₁(v₁-v₁')=m₂v₂→1×(2.6-v₁')=2v₂→v₁'=2.6-2v₂。机械能守恒:½m₁(v₁²-v₁'²)=½m₂v₂²→(2.6²-v₁'²)=2v₂²,代入v₁'=2.6-2v₂:6.76-(6.76-10.4v₂+4v₂²)=2v₂²→10.4v₂-4v₂²=2v₂²→6v₂²=10.4v₂→v₂=10.4/6≈1.73m/s。(3)小球B沿斜面上升,由动能定理:-m₂gh-μm₂gcosθ·(h/sinθ)=0-½m₂v₂²→h(1+μcotθ)=v₂²/(2g)→h(1+0.5×0.8/0.6)=(1.73)²/(20)→h(1+0.666)=3/20→h=0.15/1.666≈0.09m。(4)B返回斜面底端时,摩擦力做功W=-2μm₂gcosθ·(h/sinθ)=-2×0.5×2×10×0.8×(0.09/0.6)=-2×0.5×2×10×0.8×0.15=-2.4J动能Eₖ=½m₂v₂²+W=½×2×3-2.4=3-2.4=0.6J。8.(25分)多体系统动量与能量综合问题如图所示,质量M=4kg的小车静止在光滑水平面上,车长L=2m,车左端有一质量m₁=1kg的物块A,车右端有一质量m₂=2kg的物块B,A、B与小车间动摩擦因数均为μ=0.5,A、B间用长l=1m的轻绳连接。现对物块A施加水平向右的恒力F=20N,重力加速度g=10m/s²。求:(1)轻绳刚绷紧时物块A的速度大小;(2)绳绷紧瞬间损失的机械能;(3)物块B运动到小车右端时的速度大小。解析:(1)绳绷紧前,A在F作用下加速,B静止(绳未绷紧),小车静止(A对车摩擦力f=μm₁g=5N,B对车摩擦力为0,车合力为0)。A的加速度a=(F-μm₁g)/m₁=(20-5)/1=15m/s²,位移s=l=1m,速度vₐ=√(2as)=√(2×15×1)=√30≈5.477m/s。(2)绳绷紧瞬间,A、B与小车组成系统动量守恒(内力远大于外力),设共同速度v。A的动量pₐ=m₁vₐ=1×5.477≈5.477kg·m/s,B和车动量为0,故(m₁+m₂+M)v=pₐ→7v≈5.477→v≈0.782m/s。损失机械能ΔE=½m₁vₐ²-½(m₁+m₂+M)v²=½×1×30-½×7×0.612≈15-2.14≈12.86J。(3)绳绷紧后,系统受恒力F=20N,加速度a=F/(m₁+m₂+M)=20/7≈2.857m/s²。B相对车向右运动,受摩擦力f₂=μm₂g=10N,加速度a₂=(f₂)/m₂=5m/s²;A受F和摩擦力f₁=μm₁g=5N,加速度a₁=(F-f₁)/m₁=15m/s²;车加速度a车=(f₁-f₂)/M=(5-10)/4=-1.25m/s²(向左)。相对加速度aᵣ=a₂-a车=5-(-1.25)=6.25m/s²,相对位移s=L-l=1m,由s=vt+½aᵣt²→1=0.782t+½×6.25t²→3.125t²+0.782t-1=0→t=(-0.782±√(0.612+12.5))/6.25≈(-0.782+3.62)/6.25≈0.454s。此时系统速度v'=v+a车t=0.782-1.25×0.454≈0.782-0.568≈0.214m/
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