2025年下学期初中数学竞赛冲刺训练试卷

2025年下学期初中数学竞赛冲刺训练试卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）若正整数(a)、(b)满足(a^2+b^2=2025)，且(a<b)，则(b-a)的最小值为（）A.9B.15C.21D.27已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像经过点((-1,2))、((3,2))，且与(y)轴交于点((0,-3))，则当(y>0)时，(x)的取值范围是（）A.(x<-1)或(x>3)B.(-1<x<3)C.(x<-3)或(x>1)D.(-3<x<1)如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，点(D)为(BC)中点，以(D)为圆心、(DC)为半径作圆，交(AC)于点(E)，则(AE)的长为（）A.(\frac{7}{5})B.(\frac{8}{5})C.(\frac{9}{5})D.(\frac{12}{5})若关于(x)的方程(\frac{x}{x-1}+\frac{k}{x+1}=\frac{x^2+1}{x^2-1})有增根，则(k)的值为（）A.(-2)或(0)B.(-1)或(1)C.(0)或(2)D.(-2)或(2)已知实数(x)、(y)满足(x+y=5)，(xy=3)，则(\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}})的值为（）A.(\frac{5\sqrt{3}}{3})B.(\frac{5\sqrt{6}}{3})C.(\frac{7\sqrt{3}}{3})D.(\frac{7\sqrt{6}}{3})一个正多边形的内角和是外角和的(4)倍，且它的外接圆半径为(2)，则该多边形的边长为（）A.(\sqrt{2})B.(2)C.(2\sqrt{2})D.(2\sqrt{3})若(a)、(b)、(c)为非零实数，且满足(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=k)，则(k)的值为（）A.(1)B.(-2)C.(1)或(-2)D.无法确定在平面直角坐标系中，点(A(1,0))，(B(0,1))，(C(-1,0))，(D(0,-1))，动点(P)满足(PA^2+PC^2=PB^2+PD^2)，则点(P)的轨迹是（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线若(n)为正整数，且(n^2+2n-15)能被(n+k)整除（(k)为整数），则(k)的所有可能值之和为（）A.(10)B.(12)C.(14)D.(16)如图，矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，点(E)、(F)分别在(BC)、(CD)上，且(BE=DF=x)，则(\triangleAEF)的面积(S)关于(x)的函数表达式为（）A.(S=x^2-7x+24)B.(S=-x^2+7x+24)C.(S=x^2-14x+48)D.(S=-x^2+14x+48)二、填空题（共8题，每题5分，共40分）计算：(\frac{2025^2-2024\times2026}{2025^2-2025-1}=)________。若关于(x)的不等式组(\begin{cases}x-a>0\3-2x>-1\end{cases})有且仅有3个整数解，则(a)的取值范围是________。已知(\alpha)为锐角，且(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)________。如图，在扇形(AOB)中，(\angleAOB=90^\circ)，半径(OA=4)，点(C)为弧(AB)的中点，连接(AC)、(BC)，则阴影部分面积为________（结果保留(\pi)）。若(a)、(b)是一元二次方程(x^2-5x+3=0)的两根，则(a^3-4a^2-5b+2025=)________。一个不透明的袋子中装有5个红球、3个白球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别。从中随机摸出3个球，至少有1个红球的概率为________。在平面直角坐标系中，点(P(x,y))满足(x^2+y^2=25)，且(x)、(y)均为整数，则点(P)到原点的距离小于5的概率为________。观察下列等式：(1^3=1^2)，(1^3+2^3=3^2)，(1^3+2^3+3^3=6^2)，(1^3+2^3+3^3+4^3=10^2)，……根据规律，第(n)个等式为(1^3+2^3+\cdots+n^3=)________（用含(n)的代数式表示）。三、解答题（共6题，共60分）（8分）先化简，再求值：(\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}-\frac{x}{x-2}\right)\div\frac{x+1}{x-2})，其中(x=\sqrt{3}-1)。（10分）如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)为直径作圆(O)，交(BC)于点(D)，交(AC)于点(E)，连接(AD)、(BE)交于点(F)。（1）求证：(BD=CD)；（2）若(AB=10)，(\angleBAC=60^\circ)，求(AF)的长。（10分）某商店销售一种进价为每件30元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量(y)（件）与销售单价(x)（元）满足一次函数关系：(y=-2x+160)。（1）若商店每天销售该商品的利润为(W)元，求(W)与(x)的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（10分）已知关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+2m=0)。（1）求证：无论(m)为何值，方程总有实数根；（2）若方程的两个根分别为(x_1)、(x_2)，且(x_1^2+x_2^2=10)，求(m)的值。（10分）如图，在平面直角坐标系中，点(A(0,4))，(B(3,0))，点(P)为线段(AB)上一动点（不与(A)、(B)重合），过点(P)分别作(PD\perpy)轴于点(D)，(PE\perpx)轴于点(E)。（1）设(P)点坐标为((x,y))，用含(x)的代数式表示矩形(PDOE)的面积(S)；（2）当(S=4)时，求点(P)的坐标。（12分）如图，在正方形(ABCD)中，点(E)为(BC)边上一点，连接(AE)，将(\triangleABE)沿(AE)翻折，点(B)落在点(B')处，连接(B'D)并延长交(AE)的延长线于点(F)。（1）求证：(\triangleAB'F\sim\triangleADF)；（2）若(AB=4)，(BE=1)，求(DF)的长。四、附加题（共2题，每题10分，共20分）已知正整数(a)、(b)、(c)满足(a+b+c=2025)，且(a^2+b^2=c^2)，则(abc)的最大值为________。如图，在平面直角坐标系中，点(A(1,0))，(B(0,1))，点(P)为第一象限内一动点，且(\angle