2025年下学期初中数学竞赛初赛模拟试卷

2025年下学期初中数学竞赛初赛模拟试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1.已知实数(a,b)满足(a^2+2b=7)，(b^2+2a=5)，则(a+b)的值为（）A.3B.-4C.3或-4D.无法确定2.如图，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，点(E)为(BC)中点，将(\triangleABE)沿(AE)折叠至(\triangleAFE)，连接(CF)，则(CF)的长度为（）A.(\frac{18}{5})B.(\frac{24}{5})C.5D.(\frac{32}{5})3.若关于(x)的方程(\frac{2x+m}{x-2}=3)的解为正数，则(m)的取值范围是（）A.(m>-6)B.(m>-6)且(m\neq-4)C.(m<-6)D.(m<-6)且(m\neq-4)4.已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像经过点((-1,0))，((3,0))，((0,-3))，则关于(x)的不等式(ax^2+bx+c>0)的解集为（）A.(x<-1)或(x>3)B.(-1<x<3)C.(x<-3)或(x>1)D.(-3<x<1)5.从1，2，3，…，2025中任取一个数，恰好是3的倍数但不是5的倍数的概率为（）A.(\frac{8}{25})B.(\frac{12}{25})C.(\frac{16}{75})D.(\frac{24}{75})二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6.分解因式：(x^3-4x^2+4x-1=)____________。7.已知(\sqrt{a-2}+(b+3)^2=0)，则((a+b)^{2025}=)____________。8.如图，在(\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=6)，(BC=8)，点(D)在(AB)上，且(AD=2DB)，则(CD)的长度为____________。9.若关于(x)的一元二次方程(x^2-(2k+1)x+k^2+2k=0)有两个实数根，则(k)的取值范围是____________。10.观察下列等式：(1^3=1^2)，(1^3+2^3=3^2)，(1^3+2^3+3^3=6^2)，(1^3+2^3+3^3+4^3=10^2)，…根据以上规律，(1^3+2^3+\cdots+n^3=)____________（用含(n)的代数式表示）。三、解答题（共4小题，第11-13题每题20分，第14题25分，满分85分）11.（本题满分20分）已知关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+2m=0)。（1）求证：无论(m)为何值，方程总有实数根；（2）若方程的两个根分别为(x_1)，(x_2)，且(x_1^2+x_2^2=10)，求(m)的值。12.（本题满分20分）如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)为直径的(\odotO)交(BC)于点(D)，交(AC)于点(E)，过点(D)作(DF\perpAC)于点(F)。（1）求证：(DF)是(\odotO)的切线；（2）若(AE=4)，(DF=3)，求(\odotO)的半径。13.（本题满分20分）某商店销售一种成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量(y)（件）与销售单价(x)（元）满足一次函数关系：(y=-10x+600)。（1）若商店每天销售该商品获得1000元的利润，求销售单价(x)；（2）为了尽快减少库存，商店决定降价销售，若每天销售利润不低于2160元，求销售单价的取值范围。14.（本题满分25分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线(y=ax^2+bx+c)经过点(A(-1,0))，(B(3,0))，(C(0,3))。（1）求抛物线的解析式；（2）点(P)是抛物线上一动点，过点(P)作(PD\perpx)轴于点(D)，交直线(BC)于点(E)，当(PE=2DE)时，求点(P)的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在点(Q)使得以(P)，(D)，(Q)为顶点的三角形与(\triangleBOC)相似？若存在，直接写出点(Q)的坐标；若不存在，说明理由。参考答案及评分标准一、选择题CBBAC二、填空题((x-1)(x^2-3x+1))-1(\frac{2\sqrt{58}}{3})(k\leq\frac{1}{4})(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2)三、解答题11.（1）证明：判别式(\Delta=(m+2)^2-8m=(m-2)^2\geq0)，故方程总有实数根。（8分）（2）由根与系数关系得(x_1+x_2=m+2)，(x_1x_2=2m)，则(x_1^2+x_2^2=(m+2)^2-4m=m^2+4=10)，解得(m=\pm\sqrt{6})。（12分）12.（1）连接(OD)，证(OD\parallelAC)，结合(DF\perpAC)得(OD\perpDF)，故(DF)是切线。（10分）（2）半径为5。（10分）13.（1）利润表达式为((x-30)(-10x+600)=1000)，解得(x=40)或(x=50)。（10分）（2）由((x-30)(-10x+600)\geq2160)，解得(36\leqx\leq44)，结合“尽快减少库存”，取值范围为(36\leqx<44)。（10分）14.（