2025年下学期初中数学竞赛创新探索试卷

2025年下学期初中数学竞赛创新探索试卷一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）已知正整数(a,b,c)满足(a+b+c=2025)，且(a^2+b^2=c^2)，则(c)的最小值为（）A.1013B.1014C.1015D.1016若关于(x)的方程((k^2-1)x^2-(k+1)x+1=0)有且仅有一个实数根，则(k)的值为（）A.(\pm1)B.1C.(-1)D.0在平面直角坐标系中，点(A(1,2))绕原点顺时针旋转(60^\circ)后的对应点坐标为（）A.((\cos60^\circ-2\sin60^\circ,\sin60^\circ+2\cos60^\circ))B.((\cos(-60^\circ)-2\sin(-60^\circ),\sin(-60^\circ)+2\cos(-60^\circ)))C.((\cos60^\circ+2\sin60^\circ,\sin60^\circ-2\cos60^\circ))D.((\cos(-60^\circ)+2\sin(-60^\circ),\sin(-60^\circ)-2\cos(-60^\circ)))如图，在菱形(ABCD)中，(\angleBAD=60^\circ)，(AB=4)，点(E)为(BC)中点，点(F)在(CD)上，且(CF=1)，连接(AE,AF)交于点(G)，则(AG)的长度为（）A.(\frac{8\sqrt{3}}{5})B.(\frac{12\sqrt{3}}{7})C.(\frac{16\sqrt{3}}{9})D.(\frac{20\sqrt{3}}{11})已知(a,b)为正实数，且(a+b=1)，则(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{ab})的最小值为（）A.12B.15C.18D.21若关于(x)的不等式组(\begin{cases}x-m<0\7-2x\leq1\end{cases})的整数解共有4个，则(m)的取值范围是（）A.(6<m\leq7)B.(6\leqm<7)C.(5<m\leq6)D.(5\leqm<6)定义新运算“(\otimes)”：(a\otimesb=\frac{a^2-b^2}{a-b})（(a\neqb)），则((2025\otimes2024)+(2024\otimes2023)+\cdots+(2\otimes1))的值为（）A.(\frac{2025\times2026}{2})B.(\frac{2025\times2024}{2})C.(2025^2-1)D.(2025^2)在(\triangleABC)中，(AB=5)，(AC=7)，(BC=8)，点(O)为(\triangleABC)的外心，则(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC})的值为（）A.12B.14C.16D.18若函数(y=|x^2-4x+3|-kx)有且仅有三个零点，则(k)的值为（）A.(-2\sqrt{2}+4)B.(2\sqrt{2}-4)C.(\pm(2\sqrt{2}-4))D.(\pm(2\sqrt{2}+4))从1到2025的所有正整数中，能被3或5整除但不能被15整除的数的个数为（）A.810B.811C.812D.813二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）分解因式：(x^4+4x^3+6x^2+4x+5=)__________。已知(\alpha,\beta)为方程(x^2-5x+6=0)的两根，则(\alpha^4+\beta^4=)__________。如图，(\odotO)为(\triangleABC)的内切圆，切点分别为(D,E,F)，若(AB=7)，(BC=8)，(AC=9)，则阴影部分（内切圆与三角形的公共部分）的面积为__________。若实数(x,y)满足(x^2+y^2=1)，则(x+y+xy)的最大值为__________。在数列({a_n})中，(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)，则(a_{10}=)__________。现有5个不同的红球和3个不同的白球，从中任取4个球，要求红球和白球至少各1个，则不同的取法共有__________种。三、解答题（共5小题，共70分）17.（12分）已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+c)的图像过点(A(1,2))，(B(2,3))，且与(x)轴有两个不同的交点(C,D)。（1）若(|CD|=2)，求(f(x))的解析式；（2）设(C,D)的横坐标分别为(x_1,x_2)，求证：(x_1^2+x_2^2>2)。18.（14分）如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\angleBAC=120^\circ)，点(D)为(BC)中点，以(AD)为直径作(\odotO)，交(AB)于点(E)，交(AC)于点(F)，连接(EF)交(AD)于点(G)。（1）求证：(EF\perpAD)；（2）若(AD=2)，求(\triangleAEG)的面积。19.（14分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产1吨甲产品需消耗A原料3吨、B原料2吨，可获利5万元；生产1吨乙产品需消耗A原料1吨、B原料4吨，可获利3万元。工厂现有A原料100吨，B原料120吨，且每天生产时间不超过8小时，生产1吨甲产品需1小时，生产1吨乙产品需0.5小时。（1）设每天生产甲产品(x)吨，乙产品(y)吨，写出(x,y)满足的约束条件；（2）如何安排生产才能使每天的利润最大？最大利润为多少万元？20.（15分）已知数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_1=1)，(S_{n+1}=2S_n+n+1)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）设(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)；（3）证明：对任意(n\geq2)，都有(T_n<\frac{3}{4})。21.（15分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线(y=x^2-2mx+m^2-1)与(x)轴交于(A,B)两点（点(A)在点(B)左侧），与(y)轴交于点(C)。（1）求(A,B,C)三点的坐标（用含(m)的式子表示）；（2）若点(P)为抛物线对称轴上一点，且(\trianglePAB)为等腰三角形，求点(P)的坐标；（3）在（2）的条件下，过点(P)作直线(l)平行于(x)轴，交抛物线于另一点(Q)，连接(AQ,BQ)，求四边形(AQBP)的面积。参考答案及评分标准（简要提示）一、选择题A2.B3.B4.C5.D6.A7.A8.C9.A10.B二、填空题((x^2+2x+1)(x^2+2x+5))12.9713.(\frac{16\pi}{9})14.(\frac{1+\sqrt{2}}{2})15.234116.120三、解答题17.（1）(f(x)=x^2-2x+3)或(f(x)=-x^2+4x-1)；（2）利用韦达定理证明(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2>2)。18.（1）连接(OE,OF)，证明(\triangleAEF)为等边三角形；（2）(\frac{\sqrt{3}}{4})。19.（1）约束条件：(\begin{cases}3x+y\leq100\2x+4y\leq120\x+0.5y\leq8\x,y\geq0\end{cases})；（2）生产甲产品20吨，乙产品20吨，最大利润160万元。20.（1）(a_n=2^n-1)；（2）(T_n=\frac{1}{2}