2025年下学期初中数学竞赛大学先修试卷

2025年下学期初中数学竞赛大学先修试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）设(a=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，则代数式(a^2+2a+2024)的值为（）A.0B.1C.2025D.4050对于任意实数(m,n,p,q)，定义有序实数对((m,n))与((p,q))之间的运算“△”为：((m,n)△(p,q)=(mp-nq,mq+np))。如果对于任意实数(x,y)，都有((x,y)△(a,b)=(x,y))，那么((a,b))为（）A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)已知(A,B)是两个锐角，且满足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，则实数(t)所有可能值的和为（）A.(-\frac{1}{2})B.(-\frac{3}{2})C.1D.(\frac{5}{2})如图，点(D,E)分别在△(ABC)的边(AB,AC)上，(BE,CD)相交于点(F)，设(S_{四边形EADF}=S_1)，(S_{\triangleBDF}=S_2)，(S_{\triangleBCF}=S_3)，(S_{\triangleCEF}=S_4)，则(S_1S_3)与(S_2S_4)的大小关系为（）A.(S_1S_3<S_2S_4)B.(S_1S_3=S_2S_4)C.(S_1S_3>S_2S_4)D.不能确定设(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}})，则(4S)的整数部分等于（）A.4B.5C.6D.7二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）两条直角边长分别是整数(a,b)（其中(a<b<2025)），斜边是(c)的直角三角形的个数为________。已知(x+\frac{1}{x}=3)，则(x^4+\frac{1}{x^4})的值为________。正五边形广场(ABCDE)的周长为2000米，甲、乙两人分别从(A,C)两点同时出发，沿(A→B→C→D→E→A→\cdots)方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，那么出发后经过________分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上。已知(0<a<1)，且满足([a+\frac{1}{30}]+[a+\frac{2}{30}]+\cdots+[a+\frac{29}{30}]=18)（其中([x])表示不超过(x)的最大整数），则(100a)的值为________。如图，在平面直角坐标系中，二次函数(y=ax^2+bx+c(a\neq0))的图像与(x)轴交于(A,B)两点，与(y)轴交于点(C)，且(OA=OC)。若点(A)的坐标为((-1,0))，则代数式(b-ac)的值为________。三、解答题（共4小题，第11-13题每题15分，第14题20分，满分65分）已知关于(x)的一元二次方程(x^2+(2k+1)x+k^2+1=0)有两个不相等的实数根。（1）求(k)的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为(x_1,x_2)，是否存在这样的(k)，使得(|x_1|+|x_2|=\sqrt{5})？若存在，求出(k)的值；若不存在，说明理由。如图，在△(ABC)中，(AB=AC)，以(AB)为直径的⊙(O)交(BC)于点(D)，过点(D)作⊙(O)的切线(DE)交(AC)于点(E)。（1）求证：(DE\perpAC)；（2）若(AB=10)，(\sin\angleADE=\frac{3}{5})，求(AE)的长。已知二次函数(y=x^2-(m+2)x+2m)（(m)为常数）。（1）求证：不论(m)为何值，该函数的图像与(x)轴总有公共点；（2）若该函数的图像与(y)轴交于点(A)，与(x)轴交于点(B,C)（点(B)在点(C)的左侧），点(P)是线段(BC)上的一个动点（不与点(B,C)重合），过点(P)作(PE\perpx)轴，交该函数的图像于点(E)，设点(P)的横坐标为(t)，线段(PE)的长度为(d)，求(d)与(t)之间的函数关系式（用含(t)的代数式表示(d)），并求出(d)的最大值。（1）已知正整数(a,b,c)满足(a+b+c=2025)，且(a\leqb\leqc)，求(a)的最大值；（2）设(n)是正整数，若存在整数(a,b,c)使得(n=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)，则称(n)为“和谐数”，判断2025是否为和谐数，并说明理由；（3）在1到2025这2025个正整数中，共有多少个和谐数？四、附加题（共2小题，每小题25分，满分50分）如图，在锐角△(ABC)中，(AB=AC)，(D)是边(BC)上一点，(E)是线段(AD)上一点，且(\angleBED=\angleBAC=2\angleCED)。求证：(BD=2CD)。设(S={1,2,3,\cdots,2025})，对(S)中的任意两个元素(a,b)（可以相同），定义运算(a*b=(a+b)\mod2025)。（1）证明：运算(*)满足交换律和结合律；（2）若(A)是(S)的非空子集，且对任意(a,b\inA)，都有(a*b\inA)，则称(A)是(S)的一个“子群”，求(S)的子群的个数；（3）在（2）的条件下，求所有子群的元素个数之和。参考答案及评分标准（简要提示）一、选择题CBACA二、填空题3147104601三、解答题（1）(k>\frac{3}{4})；（2）存在，(k=-1)（1）连接(OD,AD)，证明(OD\parallelAC)即可；（2）(AE=\frac{16}{5})（1）判别式(\Delta=(m-2)^2\geq0)；（2）当(m<2)时，(d=-t^2+(m+2)t-2m)，最大值为(\frac{(m-2)^2}{4})；当(m=2)时，(d=0)；当(m>2)时，(d=t^2-(m+2)t+2m)，最大值为(\frac{(m-2)^2}{4})（1）674；（2）是，例如(a=45,b=0,c=0)；（3）1013四、附加题提示：构造辅助线，利用角平分线定理和正弦定理（1）直接验证；（2）2025的正约数个数，即16