2025年下学期初中数学竞赛发散思维试卷

2025年下学期初中数学竞赛发散思维试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）以下每道小题均给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项正确。设(x=\sqrt{5}-2)，则代数式(x^3+4x^2+x-1)的值为（）A.0B.1C.-1D.2对于任意实数(a,b,c,d)，定义有序实数对((a,b))与((c,d))之间的运算“△”：((a,b)△(c,d)=(ac-bd,ad+bc))。如果对于任意实数(x,y)，都有((x,y)△(m,n)=(x,y))，那么((m,n))为（）A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)已知(A,B)是两个锐角，且满足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，则实数(t)所有可能值的和为（）A.(-\frac{1}{2})B.(-\frac{3}{2})C.1D.(\frac{5}{2})如图，点(D,E)分别在△ABC的边AB,AC上，BE,CD相交于点F。设四边形EADF的面积为(S_1)，△BDF的面积为(S_2)，△BCF的面积为(S_3)，△CEF的面积为(S_4)，则(S_1S_3)与(S_2S_4)的大小关系为（）A.(S_1S_3<S_2S_4)B.(S_1S_3=S_2S_4)C.(S_1S_3>S_2S_4)D.不能确定设(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}})，则(4S)的整数部分等于（）A.4B.5C.6D.7二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）两条直角边长分别是整数(a,b)（其中(a<b<2025)），斜边是(c)的直角三角形的个数为________。一枚质地均匀的正方体骰子的六个面数字分别是1,2,2,3,3,4；另一枚骰子的六个面数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，朝上的面数字之和为5的概率是________。如图，双曲线(y=\frac{k}{x})（(x>0)）与矩形OABC的边CB,BA分别交于点E,F，且(AF=BF)，连接EF，则△OEF的面积为________。⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域个数为________。设四位数(\overline{abcd})满足(a^3+b^3+c^3+d^3+10=100a+10b+c)，则这样的四位数的个数为________。三、解答题（共4题，第11-13题每题20分，第14题25分，满分85分）11.综合探究题（20分）已知关于(x)的一元二次方程(x^2+mx+n=0)的两个整数根恰好比方程(x^2+px+q=0)的两个根都大1，且(m+n+p+q=2025)，求(m)的值。解答要求：（1）列出两个方程根与系数的关系；（2）通过整数根性质推导参数间的数量关系；（3）结合已知条件求解(m)的所有可能值。12.几何证明题（20分）如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O₁和△BCH的外接圆⊙O₂相交于点D，延长AD交CH于点P。求证：点P为CH的中点。解答要求：（1）连接辅助线BD,BH，证明∠ADB=∠HDB；（2）利用圆内接四边形性质推导∠HDP=∠HBD；（3）通过全等或等腰三角形性质证明PH=PC。13.实际应用题（20分）某物流公司计划用无人机在矩形区域OABC内进行货物配送，其中O为原点，OA=8km，OC=6km。无人机从O点出发，沿直线飞行至BC边上的点E，再沿直线飞行至AB边上的点F，最后返回O点。已知无人机飞行速度为12km/h，且AF=BF，设E点坐标为(8,y)，F点坐标为(x,6)。（1）求y关于x的函数关系式；（2）若无人机全程飞行时间不超过1.5小时，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，求△OEF面积的最大值。14.开放探究题（25分）定义：对于正整数n，若存在正整数a,b,c满足(n=a^2+b^2-c^2)，且(a+b+c\leq20)，则称n为“和谐数”。（1）判断10是否为和谐数，并说明理由；（2）求所有小于50的和谐数中，能被3整除的数的个数；（3）设集合M={x|x为和谐数，1≤x≤2025}，集合N={y|y=2k+1,k∈Z}，求M∩N中元素的个数。解答要求：（1）对问题（1）需给出具体a,b,c的值或反证过程；（2）对问题（2）需分类讨论并列举所有符合条件的数；（3）对问题（3）需结合数论知识推导一般规律，无需枚举所有元素。四、附加题（共2题，每题15分，不计入总分，供拓展思考）数论拓展题设p是大于3的质数，且(p\equiv1\mod6)，求证：存在整数a,b使得(4p=a^2+27b^2)。组合创新题在6×6的方格表中，每个小方格内