2025年下学期初中数学竞赛反证法试卷

2025年下学期初中数学竞赛反证法试卷一、选择题（每题5分，共30分）用反证法证明“在△ABC中，若∠A>∠B>∠C，则∠A>60°”时，第一步应假设（）A.∠A=60°B.∠A<60°C.∠A≤60°D.∠A≥60°已知命题“若a²+b²=0，则a=b=0”，用反证法证明时，应假设（）A.a≠0且b≠0B.a≠0或b≠0C.a=b≠0D.a²+b²≠0用反证法证明“在同一平面内，若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，假设的内容是（）A.a与b相交B.a与b异面C.a与b不垂直于cD.a与b都不垂直于c命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”的否定是（）A.三角形中至少有一个内角大于60°B.三角形中三个内角都大于60°C.三角形中至多有一个内角小于或等于60°D.三角形中没有内角小于或等于60°用反证法证明“√2是无理数”时，假设的内容是（）A.√2是整数B.√2是分数C.√2是有理数D.√2是负数在四边形ABCD中，若AB=CD，AD=BC，用反证法证明“四边形ABCD是平行四边形”时，应假设（）A.AB≠CD或AD≠BCB.四边形ABCD是梯形C.四边形ABCD的对角线不互相平分D.四边形ABCD不是平行四边形二、填空题（每题5分，共30分）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设________________________。命题“若x²-2x+1=0，则x=1”的逆否命题是________________________，用反证法证明时，假设的内容是________________________。用反证法证明“方程x²+2x+3=0没有实数根”时，可从假设方程有实数根x=a出发，代入方程得a²+2a+3=0，即(a+1)²+2=0，此式与________________________矛盾，从而原命题成立。已知a，b，c都是正整数，且a+b+c是偶数，用反证法证明“a，b，c中至少有一个是偶数”时，假设的内容是________________________，此时a+b+c是________________________（填“奇数”或“偶数”），与已知矛盾。用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C”时，假设∠B≠∠C，不妨设∠B>∠C，根据________________________（填定理名称），可得AC>AB，与已知AB=AC矛盾。命题“在一个三角形中，不能有两个角是钝角”的否定是________________________，用反证法证明时，可推出三个内角之和________________________，与三角形内角和定理矛盾。三、解答题（共90分）13.（15分）用反证法证明：两条直线相交，只有一个交点。14.（15分）求证：在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC。15.（15分）用反证法证明：不存在整数m，n，使得m²=n²+2025。16.（15分）已知a，b，c∈R，且a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0。17.（15分）用反证法证明：圆的两条非直径的弦不能互相平分。18.（15分）已知函数f(x)=x³+x，对于任意实数a，b，若a+b>0，求证：f(a)+f(b)>0。参考答案及解析（部分）一、选择题C解析：反证法假设结论的反面，“∠A>60°”的反面是“∠A≤60°”。B解析：“a=b=0”的反面是“a≠0或b≠0”（注意“且”的否定是“或”）。A解析：在同一平面内，两直线的位置关系只有平行或相交，故假设a与b相交。B解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，即三个内角都大于60°。C解析：无理数的反面是有理数，故假设√2是有理数。D解析：直接否定结论“四边形ABCD是平行四边形”，即假设“四边形ABCD不是平行四边形”。二、填空题两个锐角都大于45°若x≠1，则x²-2x+1≠0；假设x≠1任何实数的平方非负（或(a+1)²≥0）a，b，c都是奇数；奇数大角对大边在一个三角形中，有两个角是钝角；大于180°三、解答题证明：假设两条直线相交有两个或两个以上交点，设直线l₁与l₂相交于点A和点B。根据“两点确定一条直线”，可知l₁与l₂重合，与“两条直线”矛盾，故假设不成立，原命题得证。证明：假设BC≤AC，根据“大边对大角”，若BC=AC，则∠A=∠B；若BC<AC，则∠A<∠B。两者均与已知∠A>∠B矛盾，故BC>AC。证明：假设存在整数m，n，使得m²=n²+2025，即(m-n)(m+n)=2025。由于m，n是整数，m-n和m+n均为整数，且m-n≤m+n，m-n与m+n同奇同偶。2025=1×2025=3×675=5×405=9×225=15×135=25×81=45×45。以上所有因数对均为奇数，故m-n和m+n都是奇数，从而m=(m-n+m+n)/2，n=(m+n-m+n)/2均为整数。但2025为完全平方数，设m-n=k，m+n=2025/k（k为正整数），则m=(k+2025/k)/2，n=(2025/k-k)/2。若k=45，则m=(45+45)/2=45，n=0，此时m²-n²=45²=2025，与假设矛盾（题目隐含m≠n）。其他因数对均导致m，n不是整数或m=n，故假设不成立，原命题得证。证明：假设a，b，c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0。若a=0，则abc=0，与abc>0矛盾；若a<0，则由abc>0得bc<0，由a+b+c>0得b+c>-a>0，从而ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0+bc=bc<0，与ab+bc+ca>0矛盾。故a>0，同理可证b>0，c>0。证明：假设圆的两条非直径弦AB和CD互相平分于点O，连接OA，OB，OC，OD。因为AB和CD互相平分，所以OA=OB，OC=OD（半径相等），从而△OAB和△OCD均为等腰三角形，且∠AOB=∠COD（对顶角相等）。由三角形全等可得AB=CD，且AB和CD均为直径（圆心到弦的距离为0），与“非直径弦”矛盾，故假设不成立。证明：假设f(a)+f(b)≤0，即a³+a+b³+b≤0，整理得(a³+b³)+(a+b)≤0，即(a+b)(a²-ab+b²)+(a+b)=(a+b)(a²-ab+b²+1)≤0。因为a+b>0，且a²-ab+b²+1=(a-0.5b)²+0.75b²+1>0，所以(a+b)(a²-ab+b²+1)>0，与假设矛盾，故f(a)+f(b)>0。四、附加题（20分）用反证法证明：在平面直角坐标系中，不存在整点正三角形（即三个顶点的坐标均为整数的正三角形）。提示：假设存在整点正三角形ABC，设顶点坐标为A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，利用向量或面积公式推出矛盾（如面积为无理数与整点三角形面积