2025年下学期初中数学竞赛辅导专题试卷

2025年下学期初中数学竞赛辅导专题试卷一、选择题（共5小题，每题7分，满分35分）设非零实数(a,b,c)满足(a+b+c=0)，则(\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab})的值为（）A.0B.1C.-1D.2对于任意实数(x,y)，定义运算“(\triangle)”：((x,y)\triangle(a,b)=(xa-y+b,xb+y))。若对任意实数(x,y)均有((x,y)\triangle(m,n)=(x,y))，则((m,n))为（）A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)已知(A,B)是两个锐角，且满足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，则实数(t)所有可能值的和为（）A.(-\frac{1}{2})B.(-\frac{3}{2})C.1D.(\frac{5}{2})如图，在(\triangleABC)中，点(D,E)分别在边(AB,AC)上，(BE,CD)交于点(F)，设四边形(EADF)面积为(S_1)，(\triangleBDF)面积为(S_2)，(\triangleBCF)面积为(S_3)，(\triangleCEF)面积为(S_4)，则(S_1S_3)与(S_2S_4)的大小关系为（）A.(S_1S_3<S_2S_4)B.(S_1S_3=S_2S_4)C.(S_1S_3>S_2S_4)D.不能确定设(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}})，则(4S)的整数部分等于（）A.4B.5C.6D.7二、填空题（共5小题，每题7分，满分35分）设(x=\frac{\sqrt{5}-1}{2})，(a)是(x)的小数部分，(b)是(-x)的小数部分，则(a^3+b^3+3ab=)________。一枚质地均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1~6。连续掷三次骰子，朝上的数字之和为3的倍数的概率是________。正整数(a,b,c)满足(a+b^2-2c=2)，(3a^2-8b+c=0)，则(abc)的最大值为________。实数(a,b,c,d)满足：一元二次方程(x^2+ax-b=0)的两根为(c,d)，一元二次方程(x^2+cx+d=0)的两根为(a,b)，则所有满足条件的数组((a,b,c,d))为________。计算：(\sum_{k=1}^{99}\frac{1}{k(k+1)\sqrt{k(k+1)}}=)________。三、解答题（共4题，每题20分，满分80分）（代数综合）已知抛物线(y=ax^2+bx+c)的顶点为(E)，与(x)轴交于(A,B)两点，与(y)轴交于点(C)，且(OB=OC=3OA)。直线(y=\frac{1}{3}x+1)与(y)轴交于点(D)，求证：(\angleDBC=\angleCBE)。解答思路：（1）设(OA=t)，则(OB=OC=3t)，用(t)表示(A,B,C)坐标；（2）代入抛物线方程求出(a,b,c)（用(t)表示），确定顶点(E)坐标；（3）通过勾股定理或三角函数证明角相等。（几何证明）如图，点(D)在(\triangleABC)外接圆上，且为(\angleBAC)的平分线与(BC)的交点，点(X)在弧(BC)上，(E)是(AX)的中点，过(\triangleABC)的内心(I)作直线(RT\parallelDE)，分别与(BC,AX)交于点(R,T)，直线(DR)与(ET)交于点(S)。证明：点(S)在(\triangleABC)的外接圆上。关键步骤：（1）连接(AI)，证明(A,I,D)三点共线；（2）利用平行线性质构造相似三角形（如(\triangleDRC\sim\triangleETC)）；（3）通过圆周角定理或四点共圆判定定理完成证明。（数论综合）如果将正整数(M)放在正整数(m)左侧，所得新数能被7整除，则称(M)为(m)的“魔术数”（例如，86放在415左侧得到86415，能被7整除，则86是415的魔术数）。求正整数(n)的最小值，使得存在互不相同的正整数(a_1,a_2,\cdots,a_n)，满足对任意正整数(m)，在(a_1,a_2,\cdots,a_n)中至少有一个是(m)的魔术数。提示：（1）魔术数的代数表示：(M\times10^k+m\equiv0\pmod{7})（(k)为(m)的位数）；（2）利用抽屉原理证明(n\geq7)，并构造(a_i=i)（(i=1,2,\cdots,7)）验证充分性。（函数与不等式）已知二次函数(f(x)=x^2+bx+c)（(b,c)为整数），若方程(f(x)=0)有两个不相等的正整数根(p,q)，且(f(x)=1)有两个不相等的负整数根(r,s)，求(b+c)的值。解答要点：（1）设(f(x)=(x-p)(x-q))，则(f(x)-1=(x-r)(x-s))；（2）通过恒等式展开对比系数，结合整数性质求出(p,q,r,s)；（3）代入验证根的正负性及整数条件。四、附加题（共2题，每题10分，不计入总分）已知(a,b,c)为正实数，且(a+b+c=1)，求证：(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{1}{2})，并指出等号成立条件。在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(D)是(BC)中点，(E)是(\triangleABD)内一点，且(\angleAEB=\angleCED=180^\circ-\angleBAC)，求证：(AE=DE)。试卷设计说明：模块覆盖：严格遵循2025年竞赛大纲，代数（多项式、函数、不等式）、几何（三角形、圆、相似）、数论（整除、不定方程）占比约4:3:2，附加题涉及组合与不等式证明。难度梯度：