2025年下学期初中数学竞赛几何不等式试卷

2025年下学期初中数学竞赛几何不等式试卷一、选择题（共5小题，每题7分，共35分）1.在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，点P为△ABC内任意一点，则PA+PB+PC的最小值为（）A.8B.10C.12D.142.已知△ABC的面积为12，点D、E分别在边AB、AC上，且AD/AB=1/3，AE/AC=1/2，连接BE、CD交于点O，则△BOC的面积S满足（）A.3≤S<4B.4≤S<5C.5≤S<6D.6≤S<73.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P在斜边AB上运动，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，连接DE，则线段DE长度的取值范围是（）A.12/5≤DE≤4B.12/5≤DE≤3C.2≤DE≤5D.3≤DE≤54.已知正六边形ABCDEF的边长为2，点P为其内部一点，则PA+PB+PC+PD+PE+PF的最小值为（）A.6√3B.8√3C.12D.12√35.在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，点D在BC边上，且BD=2DC，点E在AD上，则EB+EC的最小值为（）A.2√7B.4√3C.6D.4√7二、填空题（共5小题，每题7分，共35分）6.在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，点P为BC边上一动点，则AP的最小值为________．7.如图2，在△ABC中，∠B=60°，AB=2，BC=5，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，将△BDE沿DE翻折至△B'DE，若点B'落在AC上，则BE的最大值为________．8.已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a+b+c=12，a²+b²+c²=50，则△ABC面积的最大值为________．9.如图3，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P为矩形内一点，且PA=PB，则PC+PD的最小值为________．10.在锐角△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D、E分别在AB、AC上，且DE=√3，则△ADE面积的最大值为________．三、解答题（共4小题，每题20分，共80分）11.如图4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点P为△ABC内一点，∠PBC=10°，∠PCB=20°，求证：PA>AB．证明思路：（1）作∠BAC的平分线交BC于点D，连接PD，证明△ABD≌△ACD；（2）通过角度计算得出∠APB=150°，利用正弦定理证明PA>AB．12.如图5，在△ABC中，BC=2，AB+AC=4，点D为BC中点，求AD的取值范围．解答步骤：（1）设AB=x，AC=4-x，利用中线长公式AD=1/2√(2AB²+2AC²-BC²)；（2）代入化简得AD=1/2√(2x²+2(4-x)²-4)，结合二次函数性质求最值．13.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点P为△ABC内一点，且∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，求证：PA+PB+PC=4√(2+√3)．证明关键：（1）利用角度关系证明△PAB∽△PBC∽△PCA；（2）设PA=a，PB=b，PC=c，通过相似比建立方程组，结合勾股定理求解．14.如图7，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P为BC边上一动点，过点P作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，连接DE，求线段DE长度的最小值．解答步骤：（1）设BP=x，PC=6-x，用x表示PD、PE的长度；（2）证明四边形ADPE为矩形，得DE=AP，转化为求AP的最小值．四、附加题（共2小题，每题20分，共40分）15.在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，点P为平面内一点，求PA²+PB²+PC²的最小值．16.如图8，在正△ABC中，边长为2，点P为其内部一点，且PA²+PB²+PC²=5，求△PAB面积的取值范围．注：所有几何图形需结合题目条件自行绘制，解答时应写出必要的推理过程，结果保留根号或π．（全文共计约1800字）命题说明：试卷严格遵循初中数学竞赛大纲，聚焦几何不等式核心考点，涵盖线段最值、面积不等关系、翻折与