2025年下学期初中数学竞赛截面问题试卷

2025年下学期初中数学竞赛截面问题试卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1.用一个平面去截正方体，不可能得到的截面形状是（）A.三角形B.五边形C.六边形D.七边形2.圆柱的轴截面是边长为4的正方形，则圆柱的侧面积为（）A.4πB.8πC.16πD.32π3.用一个平面截圆锥，若截面平行于底面，则截面形状是（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线4.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面截正方体得到一个三角形截面，若截面三角形的三个顶点分别为A、B₁、D₁，则该截面的面积为（）（设正方体棱长为1）A.√2/2B.√3/2C.√2D.√35.球的任意截面都是（）A.圆B.椭圆C.半圆D.不规则图形6.用一个平面截三棱柱，截面形状不可能是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形7.圆锥的轴截面是等边三角形，其母线长为2，则圆锥的底面半径为（）A.1B.√3C.2D.48.正方体的截面中，面积最大的三角形截面的面积为（）（设正方体棱长为a）A.√3a²/2B.√2a²C.3a²/2D.2a²9.用一个平面截圆柱，若截面与轴截面垂直且过底面圆心，则截面形状是（）A.圆B.长方形C.正方形D.椭圆10.三棱锥的截面最多能是几边形（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形二、填空题（共5题，每题6分，共30分）11.用一个平面截长方体，截面边数最少是______，最多是______。12.圆锥的截面中，若截面过顶点且与底面相交，截面形状是______。13.正方体棱长为2，用平面截正方体，若截面经过棱AB、BC、C₁D₁的中点，则截面形状是______。14.圆柱的底面半径为3，高为4，与底面成30°角的平面截圆柱，截面椭圆的长轴长为______。15.球的半径为5，截面到球心的距离为3，则截面圆的面积为______。三、解答题（共4题，共70分）16.（15分）已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F、G分别为棱AB、BC、DD₁的中点，求过E、F、G三点的截面面积。17.（15分）圆锥的底面半径为3，高为4，求过圆锥顶点且与底面成60°角的截面面积。18.（20分）如图，圆柱的底面半径为2，高为5，平面α与圆柱的母线成30°角，且截面α与圆柱的两个底面都相交，求截面椭圆的长轴长、短轴长及面积。19.（20分）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，点P、Q、R分别为棱A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁的中点，（1）求证：平面PQR截正方体所得截面为正三角形；（2）求该截面的周长和面积。四、附加题（共2题，每题10分，共20分，不计入总分）20.用一个平面截正四面体，截面形状能否为菱形？若能，请说明条件；若不能，请证明。21.球的半径为R，用两个平行平面截球，若两截面间的距离为d，且截面圆半径分别为r₁和r₂（r₁<r₂），求d与R、r₁、r₂的关系。答案一、选择题D2.C3.A4.B5.A6.D7.A8.A9.A10.B二、填空题3，612.三角形13.五边形14.1215.16π三、解答题16.解：建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，坐标如下：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，A₁(0,0,2)，B₁(2,0,2)，C₁(2,2,2)，D₁(0,2,2)。E(1,0,0)，F(2,1,0)，G(0,2,1)。设截面与棱A₁D₁交于点H(m,2,2)，与棱A₁A交于点I(0,0,n)。由共面条件解得H(0,2,2)，I(0,0,1)。截面为五边形EFGHI，坐标依次为(1,0,0)，(2,1,0)，(0,2,1)，(0,2,2)，(0,0,1)。利用向量法计算各边长及夹角，得面积为√6/2+3√2/2。17.解：圆锥轴截面为等腰三角形，底面半径r=3，高h=4，母线l=5。截面与底面交于弦AB，设截面三角形为SAB（S为顶点）。截面与底面成60°角，即截面与底面所成二面角为60°。设O为底面圆心，OH⊥AB于H，则∠SHO=60°，OH=SO·cos60°=4×1/2=2。AB=2√(r²-OH²)=2√(9-4)=2√5。截面面积S=1/2×AB×SH=1/2×2√5×√(SO²-OH²)=√5×√(16-4)=√5×2√3=2√15。18.解：圆柱底面半径r=2，高h=5，截面与母线成30°角。椭圆短轴长=2r=4。长轴长=2r/sin30°=4/(1/2)=8。椭圆面积S=π×(长轴/2)×(短轴/2)=π×4×2=8π。19.解：（1）证明：P(1/2a,0,a)，Q(a,1/2a,a)，R(1/2a,a,a)。PQ=QR=RP=√[(a/2)²+(a/2)²+0]=√2a/2，故△PQR为正三角形。（2）周长=3×√2a/2=3√2a/2；面积=√3/4×(√2a/2)²=√3a²/8。