2025年下学期初中数学竞赛经典再现试卷

2025年下学期初中数学竞赛经典再现试卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）已知非零实数(a,b)满足(a^2+4b^2=4ab)，则(\left(\frac{a}{b}\right)^{2025})的值为（）A.(2^{2025})B.1C.-1D.(4^{2025})若关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)的两个实根为(x_1,x_2)，且(x_1^2+x_2^2=10)，则(m)的值为（）A.0B.4C.0或4D.-1或3如图，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，点(E)为(BC)中点，点(P)在对角线(AC)上运动，则(PE+PB)的最小值为（）A.8B.9C.10D.12已知(\triangleABC)的三边长分别为(a,b,c)，且满足(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca)，则(\triangleABC)的形状为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形若正整数(m,n)满足(m^2-n^2=2025)，则有序数对((m,n))的个数为（）A.6B.8C.10D.12二次函数(y=ax^2+bx+c(a\neq0))的图像过点((-1,0))，对称轴为直线(x=1)，若(a<0)，则下列结论正确的是（）A.(b^2<4ac)B.(c<0)C.(a+b+c>0)D.(3a+c<0)如图，(\odotO)是(\triangleABC)的外接圆，(\angleBAC=60^\circ)，(BC=2\sqrt{3})，则(\odotO)的半径为（）A.2B.(\sqrt{3})C.4D.(2\sqrt{3})计算(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}})的结果为（）A.44B.45C.46D.47在平面直角坐标系中，点(A(1,0))，(B(0,1))，点(P)在第一象限内，且(\trianglePAB)为等腰直角三角形，则点(P)的坐标不可能是（）A.(1,1)B.(2,1)C.(1,2)D.(2,2)若(a,b,c)为正实数，且(a+b+c=1)，则(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})的最小值为（）A.3B.6C.9D.12二、填空题（共6题，每题5分，共30分）分解因式：(x^3-7x+6=)__________。已知(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=3)，则(x^2+\frac{1}{x^2}=)__________。如图，在菱形(ABCD)中，(\angleBAD=60^\circ)，(AB=4)，点(E)在边(AD)上，且(AE=1)，点(F)为(CD)中点，则线段(EF)的长为__________。若关于(x)的不等式组(\begin{cases}x-a>0\3-2x>-1\end{cases})有且仅有3个整数解，则(a)的取值范围是__________。从1到2025的所有正整数中，能被3或5整除的数的个数为__________。如图，在(\triangleABC)中，(\angleACB=90^\circ)，(AC=BC=2)，以(BC)为直径作半圆，交(AB)于点(D)，则阴影部分的面积为__________（结果保留(\pi)）。三、解答题（共5题，共70分）17.（12分）计算：(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}+(\pi-3.14)^0-|\sqrt{3}-2|-2\cos30^\circ)。18.（14分）已知关于(x)的函数(y=kx^2-(2k+1)x+k+1)（(k)为常数，且(k\neq0)）。（1）求证：无论(k)为何值，函数图像与(x)轴总有两个交点；（2）若函数图像与(x)轴的两个交点横坐标均为整数，求(k)的值。19.（14分）如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)为直径作(\odotO)交(BC)于点(D)，交(AC)于点(E)，连接(BE)交(AD)于点(F)。（1）求证：(BD=CD)；（2）若(AB=10)，(\tan\angleABE=\frac{1}{2})，求(BF)的长。20.（15分）某商店销售一种进价为每件40元的商品，经市场调查发现，按每件50元销售，每月可售出500件；销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件。（1）设销售单价为(x)元（(x\geq50)），月销售利润为(y)元，求(y)与(x)的函数关系式；（2）若商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？（3）当销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？21.（15分）已知二次函数(y=ax^2+bx+c(a>0))的图像与(x)轴交于(A(-1,0))，(B(3,0))两点，与(y)轴交于点(C)，顶点为(D)。（1）求该二次函数的解析式（用含(a)的代数式表示）；（2）连接(AC)，(BC)，若(\triangleABC)的面积为6，求(a)的值；（3）在（2）的条件下，点(P)为抛物线上一动点，且位于第四象限，连接(PA)，(PB)，求(\trianglePAB)面积的最大值及此时点(P)的坐标。四、附加题（共2题，每题10分，共20分，不计入总分，供学有余力的同学选做）已知正整数(n)满足(n^2+2025)是完全平方数，求(n)的值。如图，在正方形(ABCD)中，点(E)为(BC)上一点，点(F)为(CD)上一点，且(\angleEAF=45^\circ)，连接(EF)。若(BE=3)，(DF=4)，求正方形