2025年下学期初中数学竞赛科研入门试卷

2025年下学期初中数学竞赛科研入门试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）已知非零实数(a,b)满足(a^2+b^2=4ab)，则(\frac{a^4+b^4}{a^2b^2})的值为（）A.12B.14C.16D.18如图，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，点(E)为(BC)中点，点(F)在(CD)上且(CF=2FD)，连接(AE)、(BF)交于点(G)，则(\triangleAGB)的面积为（）A.10B.12C.14D.16若关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)的两个根为连续整数，则(m)的值为（）A.-3或4B.-4或3C.-2或5D.-5或2定义新运算“(\otimes)”：(a\otimesb=\frac{a+b}{1-ab})（(ab\neq1)），则满足((2\otimesx)\otimes3=-1)的(x)值为（）A.(-\frac{1}{2})B.(-\frac{1}{3})C.(-\frac{1}{4})D.(-\frac{1}{5})从1到2025的所有正整数中，既不是2的倍数，也不是3的倍数，且被5除余1的数共有（）个A.268B.272C.276D.280二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）已知(a+b+c=0)，(a^2+b^2+c^2=12)，则(ab+bc+ca=)__________。如图，(\odotO)是(\triangleABC)的外接圆，(AD)是直径，(AE)是(\triangleABC)的高，若(AB=6)，(AC=8)，(AE=4.8)，则(\odotO)的半径为__________。若实数(x,y)满足(x^2+4y^2=4x)，则(x+y)的最大值为__________。一个不透明的袋子中装有5个红球、3个白球和2个黑球，从中随机摸出3个球，恰好是“两红一黑”的概率为__________。已知正整数(n)满足(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}=\frac{107}{1050})，则(n=)__________。三、解答题（共4题，第11-13题每题20分，第14题25分，满分85分）11.（本题满分20分）已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图象过点(A(-1,0))、(B(3,0))，且与(y)轴交于点(C(0,3))。（1）求该二次函数的解析式；（2）点(P)是抛物线上一动点，过点(P)作(PD\perpx)轴于点(D)，交直线(BC)于点(E)，若(PE=2ED)，求点(P)的坐标。12.（本题满分20分）如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\angleBAC=100^\circ)，点(D)在(BC)边上，且(BD=BA)，点(E)在(AC)边上，且(AE=AD)，连接(DE)。（1）求证：(\triangleADE)是等腰三角形；（2）求(\angleCDE)的度数。13.（本题满分20分）某商店销售一种成本为每件30元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量(y)（件）与销售单价(x)（元）满足一次函数关系：(y=-2x+160)（(30\leqx\leq60)）。（1）设商店每天销售该商品的利润为(w)元，求(w)与(x)之间的函数关系式；（2）若商店每天的进货成本不超过1500元，求该商品销售单价的取值范围，并求出最大利润。14.（本题满分25分）在平面直角坐标系中，点(A(0,4))，点(B(6,0))，点(P)是线段(AB)上一动点（不与(A)、(B)重合），过点(P)分别作(PD\perpy)轴于点(D)，(PE\perpx)轴于点(E)，连接(DE)。（1）设(P)点横坐标为(t)，用含(t)的代数式表示(DE)的长度；（2）在点(P)运动过程中，是否存在(\trianglePDE)为等腰直角三角形？若存在，求出此时(t)的值；若不存在，说明理由；（3）以(DE)为斜边作等腰直角三角形(DEF)（点(F)在第一象限），直接写出点(F)运动的路径长。四、拓展探究题（共1题，满分25分）15.（本题满分25分）定义：对于正整数(k)，若存在正整数(m,n)（(m<n)），使得(k=\frac{n^2-m^2}{4})，则称(k)为“等差平方数”。（1）判断21和30是否为“等差平方数”，并说明理由；（2）若(k)为“等差平方数”，且(k\leq100)，求所有满足条件的(k)的值；（3）证明：所有“等差平方数”均可表示为两个连续正整数的乘积。参考答案及评分标准（仅提供思路）一、选择题B（提示：将原式变形为((a^2+b^2)^2-2a^2b^2)）B（提示：建立坐标系求交点坐标）A（提示：利用根与系数关系及连续整数性质）C（提示：分步代入新运算公式）D（提示：容斥原理结合等差数列）二、填空题-6（提示：((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca))）5（提示：利用三角形面积与外接圆半径关系）(2+\sqrt{5})（提示：参数法或二次函数求最值）(\frac{5}{24})（提示：组合数计算概率）14（提示：通分后估算(n)范围）三、解答题（1）(y=-x^2+2x+3)；（2）((1,4))或((2,3))（1）通过角度计算得(AD=DE)；（2）(10^\circ)（1）(w=-2x^2+220x-4800)；（2）单价范围([30,35])，最大利润800元（1）(DE=\frac{5}{3}t)；（2）(t=\frac{12}{7})或(t=\frac{24}{7})；（3）路径长(2\sqrt{5})四、拓展探究题（1）21是，30不是；（2）1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91；（3）利用代数变形证明(k=m(m+1))命题说明知识覆盖：涵盖代数（函数、方程、不等式）、几何（三角形、