2025年下学期初中数学竞赛立体几何试卷

2025年下学期初中数学竞赛立体几何试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知直线l与平面α所成角为30°，则直线l与平面α内所有直线的夹角中，最大角为（）A.30°B.60°C.90°D.120°若一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为（）A.4πB.6πC.8πD.10π在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，则BC₁与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/3已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点E为CC₁的中点，点F为A₁D₁的中点，则直线AE与直线CF所成角的余弦值为（）A.1/3B.√2/3C.2√2/3D.√3/3已知一个球的直径为8，该球表面有三条长度均为√14的弦，这三条弦两两的距离相等，则这三条弦所在平面的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°圆柱底面半径为r，高为h，体积为2，表面积为24，则（r+h）的值是（）A.6B.8C.12D.24设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球所得两个截面圆半径分别为r₁和r₂，二面角的平面角为θ，则球的半径为（）A.√[(r₁²r₂²)/(r₁²+r₂²-2r₁r₂cosθ)]B.√[(r₁²+r₂²)/(1-cosθ)]C.√[(r₁²+r₂²-2r₁r₂cosθ)/sin²θ]D.√[(r₁²+r₂²)/(2(1-cosθ))]如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.4/3B.8/3C.4D.8（注：此处应有三视图，正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形）在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=√3，AB=BC=CA=2，则三棱锥S-ABC的体积为（）A.1B.√3/3C.2√3/3D.√3已知正四面体ABCD的边长为a，其外接球球心为O，则OA的长度为（）A.√3a/4B.√6a/4C.√3a/3D.√6a/3二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）在四面体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4，OD=1，则四面体ABCD体积的最大值为________。在四面体ABCD中，AB=CD=5，AC=BD=√17，AD=BC=√21，则ABCD外接球表面积是________。直角四面体ABCD中，六条棱长和为6，则其体积最大值为________。半径为6的球，则该球内接正三棱锥体积的最大值是________。正四棱锥P-ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB，BC中点，则异面直线MN与PC之间的距离是________。桌面上放着3个半径为1的球，两两相切，在它们上方的空隙里放入一个球使其顶点（最高处）恰好和3个球的顶点在同一个平面上，则该球的半径等于________。三、解答题（本大题共4小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分14分）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2，E，F分别为A₁B₁，A₁D₁的中点。（1）求证：EF∥平面BDD₁B₁；（2）求直线EF与平面BCC₁B₁所成角的正弦值。（本小题满分16分）四棱锥S-ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠SDA=∠SDC=60°，AD=DC=BC=SD=2，E在棱SD上，F为BC中点。（1）若SF∥面AEC，求证：CE⊥平面ABE；（2）在（1）的条件下，求BC与平面CDE所成角的余弦值。（本小题满分16分）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AB=AA₁=2，E、F分别是棱BC、A₁A的中点，G为棱CC₁上一点，且C₁F∥平面AEG。（1）求CG/GC₁的值；（2）求证：EG⊥A₁C；（3）求二面角A₁-AG-E的余弦值。（本小题满分18分）已知四面体ABCD中，AB=AC=AD=2，∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，点P为棱BC上一动点，Q为棱AD上一动点。（1）求证：平面BCD⊥平面AOP（O为△ABC的外心）；（2）当BP=1/3BC，AQ=1/2AD时，求异面直线PQ与CD所成角的余弦值；（3）在（2）的条件下，求点A到平面PQD的距离。附加题（本大题共2小题，每小题20分，共40分。不计入总分，供学有余力的同学选做）在四面体ABCD中，AB=CD=5，AC=BD=√34，AD=BC=√41，点M、N分别为AB、CD的中点。（1）求证：MN是AB和CD的公垂线；（2）求异面直线AC与BD所成角的大小；（3）求四面体ABCD的体积。如图，圆锥