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文档简介
2025年下学期初中数学竞赛同余应用试卷一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分)若正整数a,b满足a≡3(mod4),b≡2(mod4),则ab的个位数字是()A.2B.4C.6D.8已知2025≡x(mod7),则x的值为()A.1B.2C.3D.4满足方程2x≡1(mod5)的最小正整数解是()A.2B.3C.4D.5今天是星期六,再过2025天是星期()A.一B.三C.五D.日若整数a满足a≡1(mod3)且a≡2(mod5),则a的最小值是()A.7B.8C.11D.13二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)2025²除以9的余数是________。若3ⁿ≡1(mod7),则正整数n的最小值是________。满足1≤x≤2025且x≡3(mod11)的整数x共有________个。已知a≡5(mod8),b≡3(mod8),则a²+b²≡________(mod8)。一个两位数,它除以5余3,除以7余2,则这个两位数是________。三、解答题(共4小题,满分60分)(14分)解同余方程组:[\begin{cases}x\equiv2\pmod{3}\x\equiv3\pmod{5}\x\equiv4\pmod{7}\end{cases}](14分)证明:对于任意正整数n,n⁵-n能被5整除。(16分)某数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求满足条件的最小正整数。(16分)现有2025个球,按1,2,3,...,2025编号。甲乙两人轮流取球,每次取球数量必须是当前球数除以5的余数加1。如果甲先取,谁有必胜策略?说明理由。四、综合题(共2小题,满分30分)(15分)证明:若a,b都是整数,则a³+b³+c³-3abc能被(a+b+c)整除。(15分)设n是正整数,证明:11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹能被133整除。五、拓展题(共2小题,满分20分)(10分)求所有正整数n,使得2ⁿ≡n²(mod5)。(10分)证明:对于任意正整数n,10ⁿ+18ⁿ-1能被13整除。参考答案与评分标准一、选择题C2.D3.B4.A5.B二、填空题07.68.1849.210.23三、解答题解:设x=3k+2,代入第二个方程得3k+2≡3(mod5),即3k≡1(mod5),解得k≡2(mod5),令k=5m+2,则x=3(5m+2)+2=15m+8。再代入第三个方程得15m+8≡4(mod7),即15m≡-4≡3(mod7),因为15≡1(mod7),所以m≡3(mod7),令m=7n+3,则x=15(7n+3)+8=105n+53。所以最小正整数解为53,通解为x=105n+53(n为非负整数)。证明:根据费马小定理,对于任意整数n,n⁵≡n(mod5),所以n⁵-n≡n-n≡0(mod5),即n⁵-n能被5整除。解:设这个数为x,根据题意得:[\begin{cases}x\equiv2\pmod{3}\x\equiv3\pmod{5}\x\equiv4\pmod{7}\end{cases}]由第一个方程设x=3k+2,代入第二个方程得3k+2≡3(mod5),解得k≡2(mod5),令k=5m+2,则x=15m+8。代入第三个方程得15m+8≡4(mod7),解得m≡3(mod7),令m=7n+3,则x=105n+53。所以最小正整数解为53。解:2025除以5的余数为0,所以第一次取球数量为0+1=1个,甲取走1个后剩2024个。2024除以5余4,乙取4+1=5个,剩2019个。2019除以5余4,甲取5个,剩2014个...以此类推,每次两人共取6个球。2025÷6=337...3,最后3个球由甲取走,所以甲有必胜策略。四、综合题证明:a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca),所以能被(a+b+c)整除。证明:当n=1时,11³+12³=1331+1728=3059,3059÷133=23,能被133整除。假设当n=k时,11ᵏ⁺²+12²ᵏ⁺¹能被133整除,则当n=k+1时,11ᵏ⁺³+12²ᵏ⁺³=11×11ᵏ⁺²+144×12²ᵏ⁺¹=11×11ᵏ⁺²+11×12²ᵏ⁺¹+133×12²ᵏ⁺¹=11×(11ᵏ⁺²+12²ᵏ⁺¹)+133×12²ᵏ⁺¹,因为11ᵏ⁺²+12²ᵏ⁺¹能被133整除,133×12²ᵏ⁺¹也能被133整除,所以11ᵏ⁺³+12²ᵏ⁺³能被133整除。由数学归纳法知,原命题成立。五、拓展题解:当n=1时,2¹=2,1²=1,2≡1(mod5)不成立;n=2时,4≡4(mod5)成立;n=3时,8≡9(mod5)即3≡4(mod5)不成立;n=4时,16≡16(mod5)即1≡1(mod5)成立;n=5时,32≡25(mod5)即2≡0(mod5)不成立;n=6时,64≡36(mod5)即4≡1(mod5)不成立;n=7时,128≡49(mod5)即3≡4(mod5)不成立;n=8时,256≡64(mod5)即1≡4(mod5)不成立;n=9时,512≡81(mod5)即2≡1(mod5)不成立;n=10时,1024≡100(mod5)即4≡0(mod5)不成立;n=11时,2048≡121(mod5)即3≡1(mod5)不成立;n=12时,4096≡144(mod5)即1≡4(mod5)不成立;n=13时,8192≡169(mod5)即2≡4(mod5)不成立;n=14时,16384≡196(mod5)即4≡1(mod5)不成立;n=15时,32768≡225(mod5)即3≡0(mod5)不成立;n=16时,65536≡256(mod5)即1≡1(mod5)成立。观察发现n=2,4,16时成立,推测当n=2⁴ᵏ、n=2⁴ᵏ⁺²时成立,所以所有正整数n为n=2,4,16,32,...证明:当n=1时,10+18-1=27,27≡1(mod13)不成立;n=2时,100+324-1=423,423÷13=32.538...不成立;n=3时,1000+5832-1=6831,6831÷13=525.461...不成立;n=4时,10000+104976-1=114975,114975÷13=8844.230...不成立;n=5时,100000+1889568-1=1989567,1989567÷13=153043.615...不成立;n=6时,1000000+34012224-1=35012223,35012223÷13=2693247.923...不成立;n=7时,10000000+612219936-1=622219935,622219935÷13=47863071.923...不成立;n=8时,100000000+10919958848-1=11019
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