2025年下学期初中数学竞赛中国剩余定理试卷

2025年下学期初中数学竞赛中国剩余定理试卷一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）满足“除以3余2，除以5余3，除以7余2”的最小正整数是（）A.15B.23C.37D.53若整数x同时满足x≡1(mod4)和x≡3(mod6)，则下列选项中正确的是（）A.x=13是最小解B.所有解可表示为x=12k+7(k∈Z)C.方程组无解D.最小正整数解为7今有物不知其数，五五数之余二，七七数之余三，九九数之余四，则该数最小为（）A.157B.158C.159D.160某校组织学生排队，若每队排5人则多3人，每队排7人则多4人，每队排11人则多6人，那么该校至少有学生（）A.208人B.218人C.228人D.238人若关于x的同余方程组$\begin{cases}x\equiva\pmod{5}\x\equivb\pmod{8}\end{cases}$有解，则a,b可能的取值是（）A.a=2,b=3B.a=3,b=4C.a=4,b=5D.以上都有可能二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）满足“除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4”的最小正整数是________。一个自然数被11除余5，被13除余6，被17除余8，则满足条件的最小数是________。某数除以5余3，除以7余2，若这个数不超过100，则这样的数有________个。若x≡2(mod3)，x≡3(mod4)，x≡4(mod5)，则x的一般表达式为________。三个连续正整数，第一个能被7整除，第二个能被5整除，第三个能被3整除，则这三个数最小分别是________。三、解答题（共4小题，每小题15分，满分60分）解同余方程组：$$\begin{cases}x\equiv3\pmod{4}\x\equiv5\pmod{7}\x\equiv7\pmod{9}\end{cases}$$有一个数，除以3余2，除以5余4，除以7余6，除以9余8，除以11余10，求满足条件的最小正整数。某班级学生人数在50至150人之间，若每8人一组则多5人，每12人一组则少3人，每15人一组则多12人，求该班级的学生人数。已知正整数n满足以下条件：（1）n除以2余1，除以3余2，除以4余3，…，除以10余9；（2）n是11的倍数。求满足条件的最小n。参考答案及解析（供阅卷使用）一、选择题B解析：用代入法验证，23÷3=7…2，23÷5=4…3，23÷7=3…2，符合题意。C解析：x≡1(mod4)即x=4k+1，代入x≡3(mod6)得4k+1≡3(mod6)→4k≡2(mod6)→2k≡1(mod3)，左边为偶数，右边为奇数，无解。A解析：逐步满足法，先解5a+2=7b+3→5a=7b+1，最小b=2→a=3→35c+17，再解35c+17≡4(mod9)→35c≡-13≡5(mod9)→8c≡5(mod9)→c=4→35×4+17=157。A解析：设人数为x，x=5a+3=7b+4=11c+6。先解5a+3=7b+4→5a=7b+1→b=2→x=17+35m，再解35m+17≡6(mod11)→35m≡-11≡0(mod11)→m=11n→最小m=0→x=17+35×5=208。D解析：5和8互质，根据中国剩余定理，对任意a,b，方程组均有解。二、填空题59解析：x+1是2,3,4,5的公倍数，最小公倍数60→x=59。1388解析：设x=11a+5=13b+6=17c+8，逐步求解得最小x=1388。3解析：x=5a+3=7b+2→5a=7b-1→b=3→x=23+35m，m=0,1,2时x≤100，共3个数。x=60k-1(k∈Z)解析：x+1是3,4,5的公倍数，最小公倍数60→x=60k-1。161,162,163解析：设三个数为7a,7a+1,7a+2，列方程7a+1≡0(mod5)→7a≡-1≡4(mod5)→a≡2(mod5)；7a+2≡0(mod3)→7a≡-2≡1(mod3)→a≡1(mod3)，解得a=23→7×23=161。三、解答题解：先解x≡3(mod4)和x≡5(mod7)，设x=4k+3，代入得4k+3≡5(mod7)→4k≡2(mod7)→k≡4(mod7)→k=7m+4→x=28m+19。再解28m+19≡7(mod9)→28m≡-12≡6(mod9)→m≡6×3=18≡0(mod9)→m=9n→最小x=19+28×9=261。解：x+1是3,5,7,9,11的公倍数，最小公倍数为3465→x=3465k-1，最小正整数为3464。解：x=8a+5=12b-3=15c+12，化简为x+3=8a+8=12b=15c+15，即x+3是8,12,15的公倍数，最小公倍数120→x=120k-3，50≤120k-3≤150→k=1→x=117。解：n+1是2~10的公倍数，最小