2025年下学期高中数学竞赛奇偶分析试卷

2025年下学期高中数学竞赛奇偶分析试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）设函数$f(x)=(x-1)^2+2$，则下列关于$f(x)$的奇偶性描述正确的是（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数已知数列${a_n}$满足$a_n=n^2-n+1$，则该数列前100项中奇数项的个数为（）A.49B.50C.51D.52设复数$z=a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$）满足$|z-1|=|z+1|$，则下列结论正确的是（）A.$a$必为奇数B.$b$必为偶数C.$a$必为偶数D.$a=0$已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上，且顶点坐标为$(1,2)$，则下列判断正确的是（）A.$a$与$b$同奇同偶B.$a$为正数，$b$为负数C.$a$为偶数，$b$为奇数D.$a$与$c$的奇偶性相反在正方体$ABCD-EFGH$中随机取三条棱，它们两两异面的概率为（）A.$\frac{2}{55}$B.$\frac{4}{55}$C.$\frac{8}{220}$D.$\frac{16}{220}$设集合$A={1,2,3,\cdots,100}$，$B={a^2+2|a\inA}$，则$A\cupB$中元素个数为（）A.150B.175C.198D.200若正整数$k$满足$\frac{\sin20^\circ\sin25^\circ+i\cos25^\circ\cos20^\circ}{\sin20^\circ\cos25^\circ-i\cos20^\circ\sin25^\circ}\in\mathbb{R}$（$i$为虚数单位），则$k$的最小值为（）A.1B.2C.3D.4设函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，$g(x)=(x-1)f(x)$，$h(x)=f(x)+x$。若$g(x)$为奇函数，$h(x)$为偶函数，则$f(x)$的表达式可能为（）A.$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$B.$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$C.$f(x)=\frac{x^3+1}{x-1}$D.$f(x)=\frac{x^3-1}{x-1}$从20个数1,2,3,…,20中选出4个不同的数（不计顺序），使它们的乘积为2025的倍数，则不同选法的数目为（）A.126B.156C.186D.216平面中的3个单位向量$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$满足$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\geq\frac{1}{2}$，$\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\leq-\frac{1}{2}$，则$|\mathbf{a}+3\mathbf{b}+\mathbf{c}|$的最大值与最小值之和为（）A.$2\sqrt{6}$B.$4\sqrt{3}$C.$6\sqrt{2}$D.$8$二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）若$\log_3(9x),\log_3(27x),\log_2(3x)$成等差数列，则正数$x$的值为_______。设点$P$在椭圆$\Gamma:\frac{x^2}{2025}+\frac{y^2}{981}=1$上，$F_1,F_2$为$\Gamma$的两个焦点，线段$F_1P$交椭圆于点$Q$，若$\triangleF_1PQ$的周长为8，则线段$FQ$的长度为_______。设复数$z$满足$z+i$与$z^2+2i$均为实数（$i$为虚数单位），则$z^3+3i$的值为_______。若$x,y>0$且$x+y=1$，则$\frac{y+1}{x}+\frac{x+2}{y}$的最小值为_______。设$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$是平面中的3个单位向量，满足$\lfloor\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\rfloor=\lfloor\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}\rfloor=\lfloor\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\rfloor$（其中$\lfloorx\rfloor$表示不超过实数$x$的最大整数），则$|\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}|$的取值范围是_______。将1,2,3,…,9排列为$a,b,c,d,e,f,g,h,i$，使得3个三位数$\overline{abc},\overline{def},\overline{ghi}$之和等于2025，则不同的排列方法数为_______。对四位数$\overline{abcd}$，若$a+b>c+d$则称为$P$类数，若$a+b<c+d$则称为$Q$类数，则$P$类数总量与$Q$类数总量之差等于_______。三、解答题（本大题共3小题，共51分）（本题满分16分）设$f(x)$是定义域为$\mathbb{R}$的函数，$g(x)=(x-1)f(x)$，$h(x)=f(x)+x$。若$g(x)$为奇函数，$h(x)$为偶函数，求$\frac{f(1)f(3)f(5)\cdotsf(99)}{f(2)f(4)\cdotsf(100)}$的值。（本题满分17分）在平面直角坐标系$xOy$中，点集$\Gamma={(x,y)|y^2=2x+2}$。若$\Gamma$中的3个不同的点$M,P,Q$满足：$M$为$PQ$的中点，且$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=-2$，求点$M$的坐标。（本题满分18分）设$\Gamma$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，$F_1,F_2$分别为其左、右焦点。若$\Gamma$上存在一点$P$，使得直线$PF_1,PF_2$的斜率分别为$\frac{1}{2},2$，且$\trianglePF_1F_2$的面积为整数，求$a$的最小可能值。四、附加题（本大题共2小题，每小题25分，共50分）证明：对任意正整数$n$，存在$n$个互不相同的正整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，使得对任意$1\leqi<j\leqn$，$a_i+a_j$为奇数，且$a