2025年下学期初中数学基本国际分销商组织竞赛素养试卷

2025年下学期初中数学基本国际分销商组织竞赛素养试卷一、选择题（共10题，每题4分，共40分）若正整数a、b满足a²+b²=2025，且a<b，则a的值为（）A.27B.36C.45D.54已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像经过点（-1,2）、（1,6）、（2,11），则该函数的对称轴为（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D为AB中点，以CD为直径作圆O，交AC于点E，则AE的长度为（）A.1.2B.1.5C.1.8D.2.0若关于x的方程x²-2mx+m²-1=0的两个根都大于1且小于4，则m的取值范围是（）A.1<m<3B.2<m<3C.1<m<4D.2<m<4已知正六边形ABCDEF的边长为2，点P为其内部任意一点，则点P到六边形各边距离之和为（）A.3√3B.4√3C.6√3D.8√3计算：(2025²-2024²+2023²-2022²+...+3²-2²+1²)的值为（）A.2050225B.2050250C.2050275D.2050300在△ABC中，∠A=60°，AB=4，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，若△ADE的面积为△ABC面积的1/3，则AD的长度为（）A.4/√3B.2√3C.4√3/3D.8/3若实数x、y满足x+y=5，xy=3，则x⁴+y⁴的值为（）A.527B.539C.551D.563一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.12πcm³B.16πcm³C.20πcm³D.24πcm³从1到2025这2025个正整数中，能被3或5整除但不能被15整除的数的个数为（）A.810B.811C.812D.813二、填空题（共6题，每题5分，共30分）已知a+b+c=5，ab+bc+ca=6，abc=4，则a³+b³+c³=________。如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在CD边上的点F处，则BE的长度为________。若关于x的不等式组{x-a>0{3-2x>-1的整数解共有3个，则a的取值范围是________。已知点A（1,2）、B（3,4），点P为x轴上一动点，则PA+PB的最小值为________。一个不透明的袋子中装有5个红球、3个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同。现从中任意摸出3个球，则摸出的3个球中至少有2个红球的概率为________。观察下列等式：1³=11³+2³=91³+2³+3³=361³+2³+3³+4³=100...根据以上规律，1³+2³+...+n³=________（用含n的代数式表示）。三、解答题（共6题，共80分）（12分）计算：(√5-2)²⁰²⁴×(√5+2)²⁰²⁵-√20+|√5-3|（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BE、DF。（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BED=90°，AB=5，DE=3，求平行四边形ABCD的面积。（14分）某商店销售一种进价为每件30元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y=-2x+160（30≤x≤60）。（1）求该商店每天销售这种商品的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若该商店每天的固定成本为200元，要想每天获得不低于500元的纯利润，销售单价应控制在什么范围内？（14分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AC、BC、CF。（1）求证：AC平分∠BAE；（2）若tan∠ABC=3/4，AE=6，求CF的长度。（14分）已知二次函数y=x²-(m+2)x+m+1（m为常数）。（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）若该函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点P是该函数图像上的一动点，且在x轴上方，过点P作PD⊥x轴于点D，当PD=2AD时，求点P的坐标。（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点P为AB边上一动点（不与A、B重合），过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，连接DE，点Q为DE的中点。（1）求证：PQ的长度为定值；（2）设AD=x，△PDE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值；（3）当△PDE为等腰三角形时，求AD的长度。参考答案与解析一、选择题B解析：∵2025=45²，且a²+b²=45²，结合勾股数性质，易知36²+27²=45²，但a<b，故a=36，b=27不符合，应为a=27，b=36，选项A正确（注：原题选项可能存在排版错误，正确答案应为27）C解析：将三点坐标代入函数解析式，得：{a-b+c=2{a+b+c=6{4a+2b+c=11解得a=1，b=2，c=3，对称轴x=-b/(2a)=-2/2=-1，选项A正确（注：原题选项可能存在排版错误）B解析：由勾股定理得AB=10，CD=5（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。连接OE，易知OE=OC=OD=2.5，△OEC∽△ABC，故OE/AB=CE/BC，即2.5/10=CE/8，解得CE=2，AE=AC-CE=6-2=4（注：原题选项可能存在错误）B解析：方程可化为(x-m)²=1，解得x=m±1。由题意得1<m-1<4且1<m+1<4，解得2<m<3，选项B正确C解析：正六边形可分割为6个边长为2的正三角形，每个正三角形的高为√3，故点P到各边距离之和等于6×√3=6√3，选项C正确C解析：原式=(2025²-2024²)+(2023²-2022²)+...+(3²-2²)+1²=(2025+2024)(2025-2024)+...+(3+2)(3-2)+1=2025+2024+...+3+2+1=(2025×2026)/2=2050275，选项C正确C解析：由相似三角形面积比等于相似比的平方，得(AD/AB)²=1/3，故AD=AB/√3=4/√3=4√3/3，选项C正确A解析：x²+y²=(x+y)²-2xy=25-6=19，x⁴+y⁴=(x²+y²)²-2x²y²=361-2×9=343（注：原题选项可能存在错误，正确答案应为343）（因无图无法准确解析，此处略）A解析：能被3整除的数有675个，能被5整除的数有405个，能被15整除的数有135个，故符合条件的数有675+405-2×135=810个，选项A正确二、填空题25解析：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)，又a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=25-12=13，故原式=5×(13-6)+3×4=35+12=47（注：原题答案可能存在错误，正确答案应为47）3解析：设BE=EF=x，则EC=8-x，CF=√(EF²-EC²)=√(x²-(8-x)²)=√(16x-64)，又AF=AB=6，AD=8，DF=√(AF²-AD²)=√(36-64)（无解，注：题目条件可能存在错误，应为AB=8，AD=6）-2≤a<-1解析：解不等式组得a<x<2，整数解为1,0,-1，故-2≤a<-12√10解析：作点A关于x轴的对称点A'(1,-2)，则PA+PB=PA'+PB≥A'B=√[(3-1)²+(4+2)²]=√40=2√101/3解析：总情况数C(10,3)=120，至少2个红球包含2红1非红和3红两种情况，共C(5,2)C(5,1)+C(5,3)=40+10=50，概率为50/120=5/12（注：原题答案可能存在错误，正确答案应为5/12）[n(n+1)/2]²解析：观察可知等式右边为1²,3²,6²,10²,...，即(1),(1+2),(1+2+3),...的平方，故第n项为[n(n+1)/2]²三、解答题解：原式=[(√5-2)(√5+2)]²⁰²⁴×(√5+2)-2√5+(3-√5)=(5-4)²⁰²⁴×(√5+2)-2√5+3-√5=1×(√5+2)-3√5+3=√5+2-3√5+3=5-2√5（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD，∠A=∠C，又AE=CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）（2）解：∵∠BED=90°，DE=3，设AE=AD-DE=AD-3，在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，5²=(AD-3)²+BE²...①，又S▱ABCD=AD×BE，需补充条件方可求解（注：题目条件可能存在缺失）解：（1）w=(x-30)y=(x-30)(-2x+160)=-2x²+220x-4800（2）w=-2(x-55)²+1250，当x=55时，wmax=1250元（3）纯利润=w-200=-2x²+220x-5000≥500，解得40≤x≤70，结合30≤x≤60，故40≤x≤60（1）证明：连接OC，∵CD是切线，∴OC⊥CD，又AE⊥CD，∴OC∥AE，∠OCA=∠CAE，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAE，即AC平分∠BAE（2）解：∵∠ABC=∠AFC，tan∠AFC=3/4，设CF=4k，AC=5k，AF=3k，又AE=6，易证△AEC∽△ACF，AE/AC=AC/AF，6/5k=5k/3k，解得k=18/25，CF=4k=72/25（注：计算过程可能存在错误，需重新推导）（1）证明：Δ=(m+2)²-4(m+1)=m²≥0，∵m=0时Δ=0，故题目结论错误（注：题目条件可能存在错误）（2）解：令y=0得x=1或x=m+1，A(1,0)，B(m+1,0)，C(0,m+1)，S△ABC=1/2|m+1-1|×|m+1|=1/2|m(m+1)|=2，解得m=(-1±√17)/2（3）设P(x,y)，则PD=y，AD=|x-1|，由PD=2AD得y=2|x-1|，联立方程求解即可（1）证明：连接CQ并延长交AB于点F，易证Q是矩形CEPD对角线中点，CQ=PQ=DQ=EQ，PQ=1