2025年下学期初中数学基本国际志愿者组织竞赛素养试卷

2025年下学期初中数学基本国际志愿者组织竞赛素养试卷一、选择题（共10题，每题4分，共40分）若正整数a、b满足a²+b²=2025，且a<b，则a+b的值为（）A.63B.65C.67D.69某志愿者团队有12人，其中5人会英语，7人会法语，3人既会英语又会法语。现从中随机选取2人负责翻译工作，则至少有1人既会英语又会法语的概率是（）A.11/22B.13/22C.15/22D.17/22如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D、E分别在AC、BC上，且DE∥AB。将△CDE沿DE折叠，使点C落在AB上的点F处，则CD的长度为（）A.10/3B.15/4C.20/7D.25/8已知关于x的方程x²-(m+2)x+2m-1=0的两个根为x₁、x₂，且x₁²+x₂²=15，则m的值为（）A.-1或5B.-1C.5D.1或-5若函数y=|x²-4x+3|与直线y=kx有三个交点，则k的取值范围是（）A.0<k<1B.0<k≤1C.-1<k<1D.-1≤k≤1某国际志愿者组织在全球设有5个分支机构，每个机构之间都有直达航班。疫情期间，为减少交叉感染，规定每个机构只能与另外两个机构保持航班往来，则符合条件的航线网络共有（）种不同的结构（旋转或翻转后相同的视为同一种结构）A.3B.4C.5D.6在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P是BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则PE+PF的值为（）A.12/5B.24/5C.6D.8已知a、b、c为正实数，且满足a+b+c=1，则代数式(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²的最小值为（）A.100/3B.100/9C.100D.289/9如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，若AB=3，AC=5，AD=4，则BC的长为（）A.7B.8C.9D.10定义新运算“⊗”：a⊗b=a²-b²-ab（a>b），b²-a²-ab（a<b），0（a=b）。若x⊗(2x-1)=-3，则x的值为（）A.1或2B.-1或2C.1或-2D.-1或-2二、填空题（共6题，每题5分，共30分）已知a、b为实数，且满足√(a+2)+|b-√3|=0，则(a+b)^2025的值为________。某志愿者团队计划用一笔资金购买A、B两种防疫物资。若购买30件A种物资和20件B种物资，还剩500元；若购买20件A种物资和30件B种物资，还缺500元。则用这笔资金全部购买A种物资的数量比全部购买B种物资的数量多________件。如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，点P是正方形ABCD内一点，且∠APB=135°，则PC的最小值为________。已知正整数n满足n+100是一个完全平方数，n+268也是一个完全平方数，则n的值为________。如图，扇形AOB的半径OA=6，∠AOB=90°，点C为弧AB上一动点，连接AC、BC，作正方形ACDE和正方形BCFG（点D、E在扇形外部，点F、G在扇形外部），则线段EG长度的最大值为________。现有10名志愿者分配到3个不同的社区服务，每个社区至少分配2名志愿者，且甲、乙两名志愿者必须分配到同一个社区，则共有________种不同的分配方案。三、解答题（共5题，共80分）（15分）某国际志愿者组织开展环保植树活动，计划购买甲、乙两种树苗共1000棵。已知甲种树苗每棵20元，乙种树苗每棵30元。（1）若购买树苗的总费用不超过26000元，求最多可以购买乙种树苗多少棵？（2）在（1）的条件下，若甲种树苗的成活率为85%，乙种树苗的成活率为90%，且这批树苗的总成活率不低于88%，求购买两种树苗的最省钱方案。（15分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F。（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，AB=4，求阴影部分的面积。（16分）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)。（1）求该二次函数的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且位于x轴上方，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E。当PE=2DE时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是抛物线对称轴上一点，求QA+QP的最小值。（17分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处。（1）当点F落在AC上时，求BE的长度；（2）当点F落在矩形ABCD内部，且∠AFD=90°时，求BE的长度；（3）在（2）的条件下，连接CF，求△CDF的面积。（17分）在平面直角坐标系中，点A(0,4)，B(4,0)，点P是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P分别作PD⊥y轴于点D，PE⊥x轴于点E。（1）设OD=t，用含t的代数式表示矩形PDOE的面积S；（2）在点P运动过程中，∠AEP的平分线与∠ODP的平分线交于点Q，求点Q的运动路径长；（3）以PD、PE为邻边作矩形PDOE，将矩形PDOE绕点O顺时针旋转，在旋转过程中，点P的对应点为P'，连接AP'、BP'，求AP'+BP'的最小值。四、附加题（共2题，每题15分，共30分，不计入总分）已知正整数a、b、c满足a+b+c=2025，且a²+b²=c²。（1）求证：2025是完全平方数；（2）求abc的最大值。在平面直角坐标系中，点A(1,0)，B(-1,0)，点P(x,y)是平面上一动点，且满足PA+PB=4。（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹与y轴交于C、D两点，点Q是轨迹上异于C、D的任意一点，直线CQ、DQ分别与x轴交于M、N两点，求证：OM·ON为定值；（3）在（2）的条件下，过点M、N分别作轨迹的切线，求两条切线交点的轨迹方程。参考答案及评分标准（部分）一、选择题A2.B3.C4.B5.A6.A7.B8.A9.B10.B二、填空题-112.2013.√2-114.2115.6√516.3660三、解答题（部分提示）（1）设购买乙种树苗x棵，则购买甲种树苗(1000-x)棵，根据题意得：20(1000-x)+30x≤26000解得x≤600，故最多购买乙种树苗600棵。（2）设总成活棵数为y，则：y=0.85(1000-x)+0.9x=0.05x+850由0.05x+850≥0.88×1000，解得x≥600故x=600时费用最低，此时购买甲种树苗400棵，乙种树苗600棵。（1）连接OD，证OD⊥DF即可；（2）连接OE，阴影部分面积=扇形AOE面积-△AOE面积=2π/3-√3。（1）设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3)，代入C(0,3)得a=-1，故解析式为y=-x²+2x+3；（2）P(1+√2