数学专业专升本2025年高等代数冲刺试卷（含答案）

数学专业专升本2025年高等代数冲刺试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：1.设A,B为n阶方阵，若AB=BA，则下列结论中正确的是()(A)A或B必是单位矩阵(B)A或B必是零矩阵(C)A和B可交换(D)A+B必可逆2.n阶行列式D的所有元素均等于1，则D的值等于()(A)1(B)-1(C)n(D)03.设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，α₄能由α₁,α₂,α₃线性表示，则向量组α₁,α₂,α₃,α₄线性()(A)相关(B)无关(C)相关或无关均有可能(D)只能相关4.非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为(A|b)，若r(A)=r(A|b)=r，则方程组()(A)有唯一解(B)无解(C)有无穷多解(D)解的情况不能确定5.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均大于0，则下列结论中不一定成立的是()(A)A是正定矩阵(B)A可逆(C)A的特征向量必正交(D)A必与对角矩阵相似二、填空题：6.若向量组α₁=(1,0,1),α₂=(1,1,0),α₃=(0,1,1)线性相关，则实数a的值为________。7.设A=,则A的逆矩阵A⁻¹=________。8.矩阵A=有特征值λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，则|A|=________。9.已知线性方程组x₁+x₂+x₃=1,x₁+2x₂+3x₃=2,x₁+3x₂+ax₃=b有无穷多解，则a,b应满足的条件是________。10.二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的正惯性指数为________。三、计算题：11.(本题满分8分)计算行列式D=。(1)计算三阶行列式D=。(2)利用D的结果，计算行列式=。12.(本题满分9分)设A=，求矩阵A的逆矩阵A⁻¹。若存在向量x满足Ax=(1,1,1)ᵀ，求x。13.(本题满分9分)已知线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化为。(1)求此线性方程组的通解。(2)写出此线性方程组的解空间的一个基。14.(本题满分9分)设矩阵A=。(1)求矩阵A的全部特征值。(2)对应于特征值λ=2，求矩阵A的特征向量。四、证明题：15.(本题满分15分)设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，证明向量组β₁=α₁+α₂,β₂=α₂+α₃,β₃=α₃+α₁也线性无关。16.(本题满分15分)设A是n阶正定矩阵，证明|E+AB|>1，其中E是n阶单位矩阵，B是任意n阶可逆矩阵。试卷答案一、选择题：1.C2.C3.A4.C5.A二、填空题：6.a=17.A⁻¹=¹/(-2)¹⁰;⁰¹⁻¹;⁻¹⁻¹¹8.69.a=3,b=510.2三、计算题：11.(1)D=1×(1×(-1)-2×1)-0×(0-0)+2×(0-1)=-1-2=-3(2)=2×D=2×(-3)=-612.(1)|A|=1×(2×3-(-1)×1)-1×(1×3-(-1)×2)+2×(1×(-1)-2×1)=6+1-6=1.A⁻¹=¹/1¹²;-¹²-¹;²-¹¹=¹¹²;-¹²-¹;²-¹¹(2)x=A⁻¹(b)=¹¹²;-¹²-¹;²-¹¹(1,1,1)ᵀ=(4,0,-1)ᵀ13.(1)原方程组对应的齐次方程组的增广矩阵化为¹²³⁰;⁰¹⁴⁰;⁰⁰¹⁰，得r(A)=r(A|b)=3。同解方程组为x₁+2x₂+3x₃=0,x₂+4x₃=0,x₃=0。解得x₁=0,x₂=0,x₃=0。故通解为(0,0,0)ᵀ。(2)解空间的基为{(0,0,1)ᵀ}。14.(1)|λE-A|=|λ⁻¹⁰;⁻¹λ⁻¹;⁻¹⁻¹λ|=λ(λ²-2λ-3)=λ(λ-3)(λ+1)=0。特征值为λ₁=-1,λ₂=2(重根),λ₃=3。(2)对应λ=-1，(-E-A)x=0，即²-1⁰;-1²-1;-1⁻¹²x=0。解得基础解系为(-1,1,1)ᵀ。全部特征向量为k₁(-1,1,1)ᵀ(k₁≠0)。四、证明题：15.设存在常数k₁,k₂,k₃使得k₁β₁+k₂β₂+k₃β₃=0，即k₁(α₁+α₂)+k₂(α₂+α₃)+k₃(α₃+α₁)=0。整理得(k₁+k₃)α₁+(k₁+k₂)α₂+(k₂+k₃)α₃=0。因α₁,α₂,α₃线性无关，系数必全为0：k₁+k₃=0,k₁+k₂=0,k₂+k₃=0。解此齐次线性方程组，得k₁=k₂=k₃=0。故β₁,β₂,β₃线性无关。16.证法一：因A正定，故A相似于对角矩阵λ₁,λ₂,...,λₙ(λᵢ>0)。设B的特征向量为x，对应特征值为μ。则(E+AB)x=x+ABx=x+λ₁μx₁xᵀ+...+λₙμxₙxᵀ=(I+λ₁μx₁xᵀ+...+λₙμxₙxᵀ)x=(I+μ(λ₁x₁xᵀ+...+λₙxₙxᵀ))x。记C=μ(λ₁x₁xᵀ+...+λₙxₙxᵀ)，则上式为(I+C)x。因A正定，λᵢ>0，xᵀAx>0(x≠0)，故C半正定。存在可逆矩阵P，使得C=PDPᵀ，其中D对角元非负。则|E+C|=|I+PDPᵀ|=|P(I+D)Pᵀ|=|P||I+D||Pᵀ|=|I+D|。因D对角元dᵢ≥0，I+D对角元1+dᵢ>1，故|I+D|=Π(1+dᵢ)>1。又|E+AB|=|(E+ACB)|=|(E+AC)B|=|E+AC||B|=|E+C||B|>1。证毕。证法二：因A正定，故xᵀAx>0(x≠0)。对任意非零向量x，xᵀ(A+B)x=xᵀAx+xᵀBx>0+0=0。故A+B半正定。设y=Bx(x≠0)，则y≠0(因B可逆)。xᵀ(A+B)x=xᵀAx+xᵀBx=xᵀAx+(Bx)ᵀx=yᵀAy>0。故E+AB半正定。存在可逆矩阵Z，使得E+AB=ZTZᵀ，其中Z半正定。|E+AB|