2025年下学期初中数学社团成果展示试卷

2025年下学期初中数学社团成果展示试卷一、趣味数学与逻辑推理（共30分）（一）数字谜题（每题5分，共10分）在下图的3×3方格中，填入1-9的数字（每个数字仅用一次），使每行、每列及两条对角线上的数字之和均相等。已知方格中心已填入数字5，请完成剩余空格。□□□□5□□□□有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为12，将个位与十位数字对调后得到的新数比原数大18，求原数。（二）逻辑推理（每题10分，共20分）社团开展数学密室逃脱活动，设置了四个密码锁，线索如下：密码A是3的倍数，且各位数字之和为9；密码B是密码A的2倍，且为偶数；密码C比密码B小15，且能被5整除；密码D是A、B、C的平均数。请根据线索依次写出A、B、C、D的值。某社团小组有5名成员，他们分别擅长数论、几何、代数、统计和逻辑推理。已知：擅长几何的成员不与擅长代数的成员相邻；数论专家比统计专家年龄大；逻辑推理专家是小组组长；代数专家和统计专家是同桌。请列出5人的专长顺序（从左至右）。二、数学建模与实际应用（共40分）（一）校园问题解决（每题10分，共20分）学校计划在操场旁修建一个长方形花坛，周长固定为24米。社团成员需要设计花坛尺寸，使得面积最大。（1）设长方形的长为x米，用含x的代数式表示宽和面积；（2）求出面积最大时的长和宽，并计算最大面积。社团组织校园义卖活动，某小组销售手工制作的数学模型。已知制作一个模型的成本为8元，售价为15元，若每天可卖出20个。为提高销量，决定每降价1元，每天多卖出5个。（1）设降价x元，用含x的代数式表示每天的利润；（2）当降价多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？（二）生活中的数学（每题10分，共20分）社团成员参与社区垃圾分类调研，统计了某小区一周内可回收垃圾的重量（单位：kg）：50,62,48,55,70,53,65（1）计算这组数据的平均数、中位数和方差；（2）若该小区有300户居民，估计每月（按4周计算）可回收垃圾总量。为筹备社团成果展，需将6个不同的数学模型摆放在圆形展台上，要求模型A和模型B必须相邻，且模型C不能与模型D相对。共有多少种不同的摆放方式？三、代数综合应用（共30分）（一）代数变形与计算（每题5分，共10分）设(a=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，求代数式(a^2+2a+2024)的值。已知(x+y=5)，(xy=3)，求(x^4+y^4)的值。（二）方程与函数（每题10分，共20分）对于任意实数(x,y)，定义运算“(\otimes)”：(x\otimesy=ax+by+cxy)，其中(a,b,c)为常数。若(1\otimes2=3)，(2\otimes3=4)，且有一个非零实数(m)使得对任意实数(x)都有(x\otimesm=x)，求(m)的值。已知关于(x)的方程(x^2+(k-2)x+k^2=0)的两个根互为倒数，求(k)的值及方程的根。四、几何探究（共30分）（一）平面几何（每题10分，共20分）已知(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，点(D)在边(BC)上，且(BD=2)，将(\triangleABD)沿(AD)翻折得到(\triangleAB'D)，求(B'C)的长度。如图，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，点(E)是边(BC)上一点，将(\triangleABE)沿(AE)折叠，点(B)落在点(F)处，若(CF=DF)，求(BE)的长度。（二）几何综合应用（10分）正方形(ABCD)边长为8，点(E)在边(BC)延长线上，且(AE=10)，过点(D)作(DF\perpAE)于点(F)，求(DF)的长度。五、统计与概率（共20分）（一）数据分析（10分）社团成员收集了某年级50名学生的数学月考成绩，整理得到如下频数分布表：成绩区间40-5050-6060-7070-8080-9090-100频数25815128（1）计算这组数据的平均数和中位数；（2）若80分以上为优秀，估计全年级300名学生中数学成绩优秀的人数。（二）概率计算（10分）一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，连续投掷两次，记第一次点数为(a)，第二次点数为(b)。（1）求(a+b=7)的概率；（2）求(a^2+b^2)为完全平方数的概率。六、数论与组合数学（共20分）（一）数论基础（10分）已知正整数(a,b,c)满足(a+b+c=2025)，且(a\leqb\leqc)，求(a)的最大值。满足(x^2+y^2=2025)的正整数对((x,y))有多少组？（二）组合计数（10分）某社团有10名成员，其中3名男生和7名女生。现要从中选出4人参加校际数学竞赛，要求至少有1名男生，有多少种不同的选法？七、数学思维拓展（共30分）（一）逻辑推理进阶（10分）有A、B、C三个盒子，其中一个装有数学奖章，每个盒子上都有一句话：A盒：奖章不在此盒中B盒：奖章在A盒中C盒：奖章不在此盒中已知三句话中只有一句是真的，请问奖章在哪个盒子中？（二）数学建模综合（20分）某公司计划在A、B两个城市之间铺设光缆，两城市相距200公里。光缆可以沿直线铺设，也可以沿海岸线（近似看作直线）铺设。已知陆地铺设成本为每公里2万元，海底铺设成本为每公里3万元。设海岸线为x轴，A城市坐标为(0,0)，B城市坐标为(120,160)。（1）若光缆先沿海岸线铺设到点(x,0)，再海底铺设到B城市，写出总铺设成本y关于x的函数关系式；（2）求x为何值时，总铺设成本最低？最低成本是多少？八、数学文化与创新（共20分）（一）数学史问题（10分）我国古代数学名著《九章算术》中记载："今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？"（1丈=10尺）请解答这个问题。（二）创新思维题（10分）如图，将1-9这九个数字填入3×3的方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数字之和均相等（三阶幻方）。已知中心格数字为5，左上角数字为2，求右上角数字。2□□□5□□□□九、综合实践与探究（共30分）社团计划设计一个"数学文化长廊"，需要制作一系列数学主题展板。现有A、B两种规格的展板，A种展板每块面积2平方米，成本100元；B种展板每块面积3平方米，成本150元。要求展板总面积不小于30平方米，且A种展板数量不少于B种展板数量的2倍。（1）设制作A种展板x块，B种展板y块，写出x,y满足的约束条件；（2）如何设计制作方案，使得总成本最低？最低成本是多少？某社区有一个半径为10米的圆形广场，计划在广场内修建一个矩形花坛，使矩形的四个顶点都在圆周上。（1）设矩形的长为x米，用含x的代数式表示矩形的面积S；（2）求花坛面积的最大值及对应的长和宽。社团成员发明了一种新的运算符号"※"，定义(a※b=\frac{a+b}{1+ab})。（1）计算(2※3)和(3※2)的值，判断该运算是否满足交换律；（2）证明：对于任意实数(a,b)，若(a※b)有意义，则((a※b)※c=a※(b※c))；（3）若(x※2=1)，求x的值。十、开放探究题（共20分）阅读下列材料，回答问题："哥德巴赫猜想"是数学史上著名的未解决问题，其内容是：任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。虽然该猜想尚未被完全证明，但在有限范围内已被验证成立。（1）将2024表示为两个质数之和；（2）设计一个实验，验证"哥德巴赫猜想"在100以内的偶数中是否成立；（3）若哥德巴赫猜想成立，证明：任何大于5的奇数都可以表示为三个质数之和。数学建模小组在研究"人口增长模型"时，收集到某城市2015-2025年的人口数据如下表：年份20152016201720182019202020212022202320242025人口（万）12