2025年下学期初中数学社团活动成果试卷

2025年下学期初中数学社团活动成果试卷考试时间：120分钟满分：150分考试范围：初中数学拓展知识（含代数变形、几何模型、数论初步、实际应用）一、选择题（共10题，每题3分，共30分）若正整数(a)、(b)满足(a^2+b^2=2025)，且(a<b)，则(a+b)的值为（）A.63B.65C.67D.69如图，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，点(E)为(BC)中点，点(F)在(CD)上，且(CF=2)，连接(AE)、(BF)交于点(O)，则(AO)的长度为（）A.(\frac{15}{4})B.(\frac{20}{3})C.5D.(\frac{25}{4})已知(x+\frac{1}{x}=3)，则(x^4+\frac{1}{x^4})的值为（）A.47B.49C.51D.53一个多边形的内角和与外角和之比为(7:2)，则这个多边形的边数为（）A.7B.8C.9D.10若关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)有两个不相等的正实数根，则(m)的取值范围是（）A.(\sqrt{3}<m<2)B.(2<m<\frac{7}{2})C.(\sqrt{3}<m<\frac{7}{2})D.(m>\frac{7}{2})在Rt△(ABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=3)，(BC=4)，点(P)为斜边(AB)上一动点，过点(P)作(PD\perpAC)于(D)，(PE\perpBC)于(E)，则线段(DE)的最小值为（）A.(\frac{12}{5})B.(\frac{13}{5})C.3D.4已知(a)、(b)、(c)为非零实数，且满足(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=k)，则(k)的值为（）A.1B.-2C.1或-2D.2或-1从1到2025的所有正整数中，能被3或5整除的数的个数为（）A.810B.945C.1020D.1095如图，在△(ABC)中，(\angleBAC=60^\circ)，(AB=4)，(AC=6)，点(D)、(E)分别在(AB)、(AC)上，且(DE\parallelBC)，将△(ADE)沿(DE)折叠，点(A)落在点(A')处，若(A')恰好落在(BC)上，则(DE)的长度为（）A.(\frac{12}{5})B.(\frac{15}{7})C.(\frac{18}{7})D.(\frac{24}{7})定义新运算“※”：(a※b=\frac{a+b}{1-ab})，则满足(x※(x※2)=1)的(x)值为（）A.(-\frac{1}{3})B.(\frac{1}{3})C.-3D.3二、填空题（共8题，每题4分，共32分）分解因式：(x^3-7x+6=)__________。已知(a)、(b)是方程(x^2-5x+3=0)的两根，则(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=)__________。如图，扇形(AOB)的半径为6，圆心角(\angleAOB=60^\circ)，点(C)为弧(AB)的中点，连接(AC)、(BC)，则阴影部分面积为__________（结果保留(\pi)）。若(a)为整数，且(\frac{3a+4}{a-1})为整数，则(a)的值为__________（写出所有可能）。在平面直角坐标系中，点(A(1,2))、(B(3,4))，点(P)为(x)轴上一动点，则(PA+PB)的最小值为__________。一个不透明的袋子中装有5个红球、3个白球和2个黑球，从中随机摸出3个球，恰好是“两红一黑”的概率为__________。已知(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2})，则(x+y+z=)__________。观察下列等式：(1^3=1)(1^3+2^3=9)(1^3+2^3+3^3=36)(1^3+2^3+3^3+4^3=100)……根据规律，(1^3+2^3+\dots+n^3=)__________（用含(n)的代数式表示）。三、解答题（共6题，共88分）19.（12分）计算：（1）(\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{48})；（2）(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\dots+\frac{1}{2024\times2025})。20.（14分）如图，在△(ABC)中，(AB=AC)，以(AB)为直径作⊙(O)交(BC)于点(D)，交(AC)于点(E)，连接(AD)、(BE)交于点(F)。（1）求证：(BD=CD)；（2）若(AB=10)，(\tan\angleABE=\frac{1}{2})，求(CF)的长度。21.（14分）某商店销售一种进价为每件30元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量(y)（件）与销售单价(x)（元）满足关系(y=-2x+160)（(30\leqx\leq60)）。（1）设每天的销售利润为(w)元，求(w)与(x)的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）若该商店每天的固定成本为200元，要想每天的净利润不低于500元，销售单价应控制在什么范围？22.（16分）已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像经过点(A(-1,0))、(B(3,0))、(C(0,3))。（1）求该二次函数的解析式；（2）点(P(m,n))是抛物线上一动点，过点(P)作(PD\perpx)轴于点(D)，交直线(BC)于点(E)。①当(m>0)时，求线段(PE)的最大值；②若以(P)、(D)、(E)为顶点的三角形与△(BOC)相似，求点(P)的坐标。23.（16分）在Rt△(ABC)中，(\angleACB=90^\circ)，(AC=BC=4)，点(D)为(AB)中点，点(E)、(F)分别在(AC)、(BC)上，且(DE\perpDF)。（1）求证：(AE=CF)；（2）若(AE=1)，求(EF)的长度；（3）设(AE=x)，△(DEF)的面积为(S)，求(S)与(x)的函数关系式，并求出(S)的最小值。24.（16分）阅读下列材料，回答问题：材料一：对于任意正整数(n)，若(n)的所有正因数之和等于(2n)，则称(n)为“完全数”。例如，6的正因数为1、2、3、6，且(1+2+3+6=12=2\times6)，故6是完全数。材料二：若两个正整数(m)、(n)满足(m)的所有正因数之和等于(n+1)，且(n)的所有正因数之和等于(m+1)，则称(m)、(n)为“亲和数”。例如，220与284是一对亲和数。（1）判断28是否为完全数，并说明理由；（2）已知(p)是质数，且(2^p-1)也是质数，求证：(n=2^{p-1}(2^p-1))是完全数；（3）若(m)、(n)是一对亲和数，且(m<n)，(m+n=504)，求(m)、(n)的值。参考答案及评分标准（仅为命题说明，实际试卷中不呈现）一、选择题A2.B3.A4.C5.B6.A7.C8.B9.D10.A二、填空题((x-1)(x-2)(x+3))12.(\frac{19}{3})13.(9\sqrt{3}-3\pi)14.0,2,-2,4,1015.(2\sqrt{10})16.(\frac{5}{28})17.618.(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2)三、解答题（简要思路）19.（1）原式(=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=5\sqrt{3})；（2）裂项相消得(\frac{2024}{2025})。20.（1）连接(AD)，由直径所对圆周角为直角得(AD\perpBC)，再由等腰三角形三线合一得证；（2）通过相似三角形或三角函数求得(CF=\frac{15}{4})。21.（1）(w=(x-30)(-2x+160)=-2x^2+220x-4800)；（2）当(x=55)时，(w_{\text{max}}=1250)元；（3）(40\leqx\leq60)。22.（1）(y=-x^2+2x+3)；（2）①(PE=-x^2+3x=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4})，最大值为(\frac{9}{4})；②点(P)坐标为((1,4))或((2,3))。23.（1）连接(CD)，证△(ADE\cong△CDF)；（2）(EF=\sqrt{5})；（3）(S=\frac{1}{2}(x^2-4x+8))，最小值为2。24.（1）28是完全数（因数和为56）；（2）利用等比数列求和公式证明因