2025年下学期初中数学审美发展能力测评试卷

2025年下学期初中数学审美发展能力测评试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.正六边形D.直角梯形古希腊数学家毕达哥拉斯发现“黄金分割”比例约为0.618，若某矩形的宽与长的比值为黄金比，则当矩形长为10cm时，宽约为（）A.5.26cmB.6.18cmC.7.32cmD.8.45cm下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A.圆柱B.圆锥C.球体D.三棱柱在平面直角坐标系中，点A（-3，2）关于原点对称的点A'的坐标为（）A.（3，-2）B.（-3，-2）C.（3，2）D.（-2，3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径画圆，若圆C与AB相切，则r的值为（）A.2B.2.4C.3D.4下列图案中，通过平移变换得到的是（）A.B.C.D.已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的内角和为（）A.1440°B.1620°C.1800°D.2160°如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A.5B.6C.7D.8某扇形的半径为6cm，圆心角为60°，则该扇形的面积为（）A.6πcm²B.12πcm²C.18πcm²D.24πcm²在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-4x+5的顶点坐标为（）A.（2，1）B.（-2，1）C.（2，-1）D.（-2，-1）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）若一个多边形的内角和为1080°，则该多边形的边数是______。已知线段AB=8cm，点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长度为______cm（精确到0.01）。如图，在⊙O中，弦AB=6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径为______cm。点P（m+1，m-2）在第四象限，则m的取值范围是______。如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，若AB=3，AC=5，则线段CE的长为______。观察下列等式：1²=11²+2²=51²+2²+3²=141²+2²+3²+4²=30…根据规律，第n个等式为1²+2²+…+n²=______（用含n的代数式表示）。三、解答题（本大题共8小题，共110分）（12分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF。（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）若∠BAE=30°，求∠AFE的度数。（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，2）、B（-3，-1）、C（0，-2）。（1）画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；（2）将△A₁B₁C₁向右平移4个单位长度，得到△A₂B₂C₂，写出点A₂、B₂、C₂的坐标。（14分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=3，AE=4，求⊙O的半径。（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0＜t＜4）。（1）用含t的代数式表示线段PC和CQ的长度；（2）当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？（14分）数学实践课上，老师要求用矩形纸片折叠出一个正六边形。小明的操作步骤如下：①取一张矩形纸片ABCD，AB=2，BC=4；②将纸片对折，使AB与CD重合，折痕为EF；③展开纸片后，将点A沿某条直线折叠，使点A落在EF上的点A'处，折痕交AD于点G；④重复类似操作，最终得到正六边形。（1）求矩形ABCD的宽与长的比值；（2）若折叠后点A'为EF的中点，求AG的长度。（14分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，点E在AD上，且AE=2ED，连接BE并延长交AC于点F。（1）求证：△BDE∽△BAF；（2）求AF的长度。（14分）某公园计划修建一个圆形喷水池，喷水池中心O处装有一个旋转喷水头，水流呈抛物线形，喷出的水流高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-x²+4x+1。（1）求水流喷出的最大高度；（2）若要使水流落在距离中心O5m的圆周上，求此时水流的初始高度（即x=0时y的值）。（14分）综合与探究：（1）问题提出：如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB、PD。求证：PB=PD。（2）类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点P是对角线AC上一点，连接PB、PD。若PB=4，求PD的长度。（3）拓展延伸：如图3，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点P是AD上一点，且AP=1，连接PC，点Q是PC上一点，连接BQ。若BQ⊥PC，求PQ的长度。四、开放探究题（本大题共20分）数学美是自然美的客观反映，在建筑、艺术、音乐等领域有着广泛应用。（1）请列举两个生活中体现“对称美”的实例，并简述其数学原理；（2）如图，某设计师利用几何图形设计了一个Logo，由三个全等的菱形和一个正三角形组成。已知菱形的边长为2，求该Logo的面积；（3）结合本节课所学知识，设计一个以“圆与正多边形”为主题的数学活动方案，要求包含活动目标、活动步骤和评价标准。参考答案及评分标准（部分示例）一、选择题C2.B3.C4.A5.B6.D7.A8.B9.A10.A二、填空题11.812.6.1813.514.-1＜m＜215.516.n(n+1)(2n+1)/6三、解答题17.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°。又∵BE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）。（2）解：由（1）得△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF=30°。在Rt△ABE中，∠AEB=60°，∴∠BEC=120°，∴∠AFE=60°。四、开放探究题25.（1）示例：①蝴蝶翅膀——左右对称，对称轴为身体中线；②故宫角楼——建筑结构呈中心对称，体现对称稳定性。（2）解：每个菱形面积为2×2×sin60°=2√3，三个菱形面积为6√3；正三角形面积为√3/4×(2√3)²=3√3，总Logo面积为9√3。命题