2025年下学期高中基于项目学习数学试卷

2025年下学期高中基于项目学习数学试卷一、项目背景与任务要求为提升数学应用能力与跨学科实践素养，本学期将围绕"校园智慧改造工程"开展项目式学习。本试卷以真实校园场景为载体，通过解决实际问题考查数学核心素养，总分150分，考试时间120分钟。请在答题卡指定区域作答，解题过程需体现数学建模、数据分析与逻辑推理能力。模块一：校园规划中的几何应用（40分）项目任务：学校拟在矩形操场（长100米，宽60米）内新建两个功能区：圆形花坛：直径不超过20米，需与操场边界保持至少5米距离；矩形休息区：面积不小于200平方米，长与宽之比为3:2，且顶点需落在以花坛圆心为坐标原点的直角坐标系中。问题1（15分）建立适当的平面直角坐标系，写出操场边界的方程及圆形花坛的圆心坐标范围。若花坛半径取最大值，计算其标准方程及与操场边界的最近距离。问题2（25分）设休息区在坐标系中的一个顶点为（a,b），且满足a>0,b>0。（1）用含a的代数式表示休息区面积S(a)，并求定义域；（2）当a为何值时，休息区面积最大？求出最大面积及此时的顶点坐标；（3）若要求休息区对角线长度不超过30米，判断（2）中所求面积是否需要调整，说明理由。模块二：校园能耗的函数模型（45分）项目任务：某教学楼配备新型节能设备，其用电量与环境温度的关系如下表：环境温度x（℃）51015202530用电量y（度/天）806552485570问题3（15分）（1）绘制散点图并判断用电量y与温度x的函数关系类型（线性/二次/指数）；（2）若选用二次函数模型y=ax²+bx+c，利用前三个数据点求函数解析式；（3）用（2）中模型预测当温度为18℃时的用电量，并计算与实际值（48度）的误差率。问题4（30分）设备供应商提供两种节能方案：方案A：一次性投入12000元，每月维护费500元，用电量函数变为y₁=0.8y；方案B：无需初始投入，每月维护费1200元，用电量函数变为y₂=0.5y。已知该校电费标准为1.2元/度，每月按22天计算：（1）分别写出两种方案下每月总费用Cₐ、Cᵦ与环境温度x的函数关系；（2）若冬季平均温度为8℃，夏季平均温度为28℃，分别计算两种方案的月均费用；（3）绘制两个函数的图像，求出费用相等的温度值，并据此为学校提出季节性选择建议。模块三：校园活动的数据分析（35分）项目任务：学生会组织"数学文化节"，需统计参与人员的学科偏好与活动评分（满分10分），随机抽取50名学生数据如下：学科偏好人数平均评分评分方差代数208.21.2几何157.80.8统计159.00.5问题5（20分）（1）计算所有参与学生的平均评分及总方差（提示：总方差=组内方差加权平均+组间方差）；（2）若用分层抽样从50人中抽取10人进行访谈，求从统计偏好组中应抽取的人数；（3）假设评分服从正态分布，代数组学生中随机抽取1人，求其评分超过9分的概率（参考数据：若X~N(μ,σ²)，则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826）。问题6（15分）文化节设置"数学闯关"活动，规则如下：共3关，每关通过概率依次为0.8、0.6、0.5，各关相互独立；通过第1关得2分，通过第2关额外得3分，通过第3关额外得5分；未通过某关则停止闯关，已得分数计入总分。（1）求学生闯关得分X的分布列；（2）计算X的数学期望，并据此设计奖项设置方案（一等奖≥10分，二等奖≥5分，三等奖≥2分）。模块四：校园投资的数列应用（30分）项目任务：学校计划设立"科技创新基金"，采用以下投资方案：初始本金10万元，每年年初追加投资2万元；投资年化收益率为r（复利计息），每年年末结算一次收益；第5年末需一次性取出全部资金用于设备采购。问题7（15分）（1）设第n年末的资金总额为aₙ，写出递推关系式aₙ=f(aₙ₋₁)及初始条件；（2）若r=5%，计算第3年末的资金总额（精确到小数点后两位）；（3）证明数列{aₙ+40}是等比数列，并求通项公式aₙ。问题8（15分）若5年后需筹集资金至少30万元：（1）求年化收益率r的最小值（精确到0.1%）；（2）若前3年收益率为5%，后2年收益率调整为r'，求r'的取值范围；（3）绘制资金总额随年份变化的折线图（取r=6%），分析投资方案的稳定性。模块五：跨学科综合实践（20分）项目任务：结合物理中的平抛运动知识，设计"校园投石机"模型：投石机发射点距地面高度h=2米，初速度v₀=10m/s；石子落点需在直线距离发射点15米的圆形区域内。问题9（20分）（1）建立坐标系，写出石子运动轨迹的参数方程（时间t为参数）；（2）若发射角度为θ（与水平方向夹角），推导水平射程x与θ的函数关系；（3）求θ的取值范围（精确到0.1°），并计算当θ=45°时的射程及落地时间。二、项目成果展示要求完成上述问题后，需提交以下成果：数学建模报告（包含问题分析、模型假设、求解过