2025年统计学专升本概率论重点练习试卷（含答案）

2025年统计学专升本概率论重点练习试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设事件A，B，C两两独立，且P(A)=P(B)=P(C)=1/2，P(ABC)=1/8，则事件A，B，C中至少有一个发生的概率为（）。（A）1/2（B）3/4（C）7/8（D）12.设随机变量X的分布律为P(X=k)=a(k+1)/10,k=1,2,3,则常数a等于（）。（A）1/10（B）1/5（C）1/2（D）13.设随机变量X的密度函数为f(x)={c/x^2,x>1;0,x≤1}，则常数c等于（）。（A）1（B）2（C）1/2（D）-14.设随机变量X的期望E(X)=2，方差D(X)=4，则随机变量Y=3X-5的期望E(Y)和方差D(Y)分别为（）。（A）1,12（B）1,36（C）6,4（D）6,125.设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为λ的泊松分布，则E(XY)等于（）。（A）λ^2（B）λ（C）2λ（D）1/λ二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上。）6.设事件A，B互斥，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)=______。7.设离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=C(k+1)/20,k=1,2,3,则P(X=2)=______。8.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)={e^(-x),x>0;0,x≤0}，则P(X>1)=______。9.设随机变量X的期望E(X)=3，方差D(X)=1，则根据切比雪夫不等式，P(|X-3|≥2)≤______。10.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=2，X的方差D(X)=1，Y的方差D(Y)=4，则X和Y的相关系数ρ_xy=______。三、计算题（本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）11.（10分）袋中有5个红球和3个白球，从中不放回地依次取出3个球。求取出的3个球中至少有2个红球的概率。12.（12分）设随机变量X的分布律如下：X-101P0.20.50.3（1）求随机变量X的分布函数F(x)；（2）求随机变量X的期望E(X)和方差D(X)。13.（15分）设随机变量X和Y相互独立，均服从参数为1的指数分布。求随机变量Z=X+Y的期望E(Z)和方差D(Z)。14.（13分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)={8xy,0<x<1,0<y<x;0,其他}。（1）求随机变量X的边缘密度函数f_X(x)；（2）判断随机变量X和Y是否相互独立。试卷答案一、选择题1.B2.C3.B4.D5.A二、填空题6.0.77.3/208.e^(-1)9.1/410.1/2三、计算题11.解：设A=“取出的3个球中至少有2个红球”，则其对立事件Ā=“取出的3个球中红球少于2个”，即“只有0个或1个红球”。P(Ā)=C(3,0)*(C(5,0)/C(8,0))*C(3,1)*(C(5,1)/C(7,1))+C(3,1)*(C(5,1)/C(8,1))*C(3,0)*(C(5,0)/C(6,0))=1*(1/8)*3*(5/7)+3*(5/8)*1*(1/6)=15/56+15/48=15/56+10/56=25/56所以，P(A)=1-P(Ā)=1-25/56=31/56。12.解：（1）当x<-1时，F(x)=P(X≤x)=0。当-1≤x<0时，F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)=0.2。当0≤x<1时，F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)=0.2+0.5=0.7。当x≥1时，F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0.2+0.5+0.3=1。所以，F(x)={0,x<-1;0.2,-1≤x<0;0.7,0≤x<1;1,x≥1}。（2）E(X)=(-1)*0.2+0*0.5+1*0.3=-0.2+0+0.3=0.1。E(X^2)=(-1)^2*0.2+0^2*0.5+1^2*0.3=0.2+0+0.3=0.5。D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=0.5-(0.1)^2=0.5-0.01=0.49。13.解：由于X和Y相互独立且均服从参数为1的指数分布，其密度函数为f_X(x)=e^(-x),x>0；f_Y(y)=e^(-y),y>0。E(X)=1,D(X)=1。E(Y)=1,D(Y)=1。因为X和Y相互独立，所以E(XY)=E(X)E(Y)=1*1=1。E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+1=2。D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)=1+1=2。（注：对于相互独立的参数为λ的指数分布随机变量X和Y，其和Z=X+Y的期望为E(Z)=λ，方差为D(Z)=λ^2。此处λ=1。）14.解：（1）f_X(x)=∫[from0tox]f(x,y)dy=∫[from0tox]8xydy=8x*[y^2/2]|_[from0tox]=8x*(x^2/2-0)=4x^3,0<x<1。所以，f_X(x)={4x^3,0<x<1;0,其他}。（2）对于0<x<1，f_X(x)=4x^3≠0。我们需要计算f_Y(y|x)。当0<y<x<1时，f_Y(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=(8xy)/(4x^3)=2/y,0<y<x。当其他y值时，f_Y(y|x)=0。