【《分形几何图形的分析》11000字】

分形几何图形的研究摘要：目前，作为计算机图形学的一个重要内容的分形图形学引起了科学界的广泛关注。在满足于观看绚丽多彩的分形图形的同时，人们渴望了解分形图形是如何动态生成的生成原理；而这些无不为分形图形的应用开拓了更加宽广、长远的发展方向。本文首先调查了分形图形设计与学习研究系统的课题背景、意义和国内外研究现状以及相关理论为基础，利用JAVA编程语言开发的一个分形图形设计与学习研究系统，确定了分形设计、分形学习、分形研究三个系统功能模块，并将分形图形算法应用到三个系统模块设计中，最终实现了设计分形图形、学习分形图形生成原理、研究分形图形生成规则等主要功能。展现了分形图形最大的艺术美感，还将计算机科学与分形理论的结合进行了完美地诠释。关键词：分形；图形；迭代系统算法目录TOC\o"1-2"\h\u1绪论 页1绪论1.1研究背景及意义分形几何是1970年才得以兴起的一种科学，在电脑技术的发展下，分形绘图越来越受到人们的欢迎。同时，在互联网的帮助下，可以制作出许多五颜六色的图案，这些图案在制图、印染等领域中得到了很大的运用，其表现形式可以井井有条，变幻莫测，也可以充满激情，让人赏心悦目。但现在，大家已经不是单纯的看着分形图案了，他们已经迫不及待的想要加入到分形图案的制作领域，以理解分形图案的产生和形成的具体流程，从而在日常的交互过程中，只需稍加修改，就可以制作出具有艺术性的分形图案，从而吸引用户眼球。因此，本文将分形的有关知识与绘画的经验与实际应用相结合，重点是从绘画的视角来了解几何的直观含义，并从多个方面来了解其本质，以便有助于分形几何的发展。1.2研究现状近年来，许多学者对基于OFS的迭代分形图形进行了深入的探讨，如：再归IFS，带概率IFS，带参数IFS，带凝聚集IFS等，并已有显著的成果。JohnC.Har利用RIFS所产生的分形模型进行了构造，从而实现了模型的建立。其中，RIFS指再归迭代函数系统。这种方式可以让使用者在吸引器上的某个具体点进行拖拽，以将其拖到自己想要的位置，该方式是凸显图形效果的重要环节，并且使图案形态发生一定的变化。根据IFS原理，LjubisaM.Kocic给出了AIFS的仿射型不变性迭代法。该方法能较好地再现可预测的基本分形的外形，并能获得与真实世界中的自然对象，尤其是具有生物学特征和生物学特征的仿真图像。此外，张赣源等学者也提出了一种基于IFS的随机迭代法，该方法将原有的随机迭代算法进行了再次优化，即：在建立相应的吸引子迭代过程中，无需增加新的中间值，即可完成该数据的计算。从数据处理的角度来看，极大减轻了计算的工作量。而熊勇等学者给出了一种特定的随机IFS特定的算法，用以判断由一个任意迭代式的系统的原始图象通过仿射转换而获得新的图象的方法，以提供有价值的信息。近几年，由于计算机网络的快速发展，计算机的数据模型和数据处理技术也得到了前所未有的提升，相比较从前很难对植物进行模拟，现今只需动动大脑和手指，即可轻松完成对植物的模拟。同时，当前已实现了L体系与电脑绘图技术的融合，使其具有更好的模拟能力，因而受到了更多人的关注。其中，崔劲等学者在此基础上，提出了一种利用L体系来表示植株结构，并运用弹性的资料用以植物构造，使植株特性得到了适时的修正，从而很大程度上解决了L型体系的缺陷。而L.Studio是一种以L为基础的模型构造工具，该工具是加拿大Calgary大学所开发，致力于对其外部环境交互作用的研究和分析。使用者可以使用预先设定的解释符来构造L系，然后使用产生式来建立所需的植株，以完成植物模型的构建。此外，加拿大卡尔加里大学的普鲁辛基维茨等人，将L体系扩充成一个可与周边环境互动的开放L体系（OpenL.System)，以探讨L体系的强大功能；该体系可以模仿随机化的植被成长，从而与周边的环境互动，并采用“交流符号”来实现与周边的互动；在时变(Timed)L系统中，该软件既能实现植物的持续成长，又能实现植物的动态仿真；在微分L系统(differentialL．System)中，该软件能够更加逼真地再现植株在持续的成长中的叶片、美丽的花朵、弯曲的枝条等，从而更加真实的再现了植株的成长。目前，中外学者关于分形模型的研究已经取得了良好的进展，但他们均是在IFS及L系统的基础上进行的。其中，他们分别使用两种方法的其中一种方法做的理论研究，这是因为两种方法拥有的局限性不同，同时构建会导致植物模拟的失败。如果把L体系和IFS的优势综合在一起，得到一个完整的分形图形，并用一个统一的表达形式对IFS和L体系进行了详细的说明，那对于模拟植物的构造是十分有帮助的。1.3研究方法及思路本论文采用JAVA语言，研制了一套基于JAVA的分形图形学与设计的研究平台。同时，使用JAVA面向对象语言将分形产生技术中的分形图递推方法与LS语法和IFS迭代式函数体系相结合，以产生具有代表意义的分形图形，并以此为目标进行了研究，以了解分形几何图形的本质。在分形图形的学习和创作中，不仅可以完成对传统分形图形的绘制，从而设计具有经典意义的分形图形，还可以根据参数的设定调整，设计出不同类型不同颜色的分形图案，同时为使用者提供了一个学习和研究分形图形规律的学习平台，以展现其图形具有的艺术性和实用价值，从而将计算机和美术的高品质融合完美展现。2相关理论基础2.1分形的定义截至到现在，关于分形的概念还没有一个明确的规范，曼德勃罗着眼于分形维数，认为分形的概念是一套比拓扑维数更大的Haysdorff维数的集合；在1986的时候，他提出了一个广受欢迎的、更容易理解的分形概念，其具体含义为：在每个分形几何对象中，它们的局部均有微观化特征，从而共同组成了分形几何对象这个整体，并且局部和整体具有相似性。而关于上述这种分形的概念至今仍在使用。根据几何对象的复杂程度和形状来看，可以将其划分成两类，第一类为不规则型；第二类为规则型。其中，20世纪初有几个著名的分形曲线被学者们所提出来，比如：康托尔三分集，科赫曲线，谢尔宾斯基地毯，阿伯雷森特的肺，都是有规律的分形曲线，从理论上讲，它们具有一定的相似性。由于大自然中的一切都是无规律的，它们的复杂程度也是无序的，好比动物的脉搏、布朗的运动、弯弯曲曲的海岸等等。从统计角度看，这种曲线的自相似特性是通过不断收集、对比和总结而得到的，通常只有在尺度没有改变的范围内才会出现，当超出尺度范围时，这种曲线就失去了自相似的特性，这种类型的曲线被称为“不规则分形”。2.2分形的几何特征2.2.1自相似性自相似性，就是被测几何对象的局部与整体具有相同的特征，并且不论采用何种尺寸的度量方式，其物体的形状均无法发生改变，甚至可以说，它就是一个局部的微观世界组成的集合体。在自相似性中，它不仅仅包含了在标准上所具备的几何相似，也包含了由于其在尺度不变性范围及统计学意义中所表现出来的自相似性。而在康托尔集、科赫、谢尔宾斯基间隔、地毯、海绵等分形中，这些都是从本质上讲的自相似性，具有一定的严格意义。此外，在自然界中动物的血管、变幻莫测的花粉的运动路线、弯曲的山脊等非规则的分形，其自相似程度仅限于比例恒定的地区范围，具有一定的局限性。因此，自相似性对于分形几何来说，意义重大。其中，在“星球大战”中，它运用了分形法的自相似度来制造特技效果；股价收益波动规律和趋势变化曲线均是从分形的自相似性得出的结论；而当前分形的自相似因素也被纳入到服务型政府的构建之中。2.2.2自仿射性从一定意义上讲，自仿射性实际上是基于分形自相似特性来扩展的。从直觉上看，相似与模仿的相似处和不同处分别在于，相似处其在局部与总体上作了比率转换，而不同处则着重于转换比率为等比率。其中，自仿射性强调的转换比率并非等比率。由于自相似性实际上是一种自仿射的特例，它在各个方向的变化都是等比的，包括位移、旋转、缩放等等。从上述我们可以看出，在分形几何中，自放射性也是一个很有意义的分形几何特性。而在园林设计中，最常用的就是分形的自仿射性；在股票价格动态方面的分形自放射性。如下图2-1即一种仿射转换曲线。图2-1仿射变换图2.3分形的测量简单来说，分形是不规则的，无序的，而且在分形中存在着大量的不变量，因此，用欧几里得的方法来计算分形几何是一件很难的事情，因为它不是单纯的一条由许多个圆点组成的轨道，或者是一个方程式的求解，而是它根本就没有一个确切的尺度。2.3.1分形的标度标度是一种用分割成许多小节的线条或点来衡量一个物体的长度和数目的计量标准。比如，米尺的长度是米，分米，秤的重量是毫克，而尺子是毫米，甚至是微米。但就分形而言，它没有米、分米、克、千克等固定的标度，其根本原因是在分形的最大特点中，当分形标度发生一定的变化时，它的自相似性也就发挥了作用，使其现有图形和原来图形形状一模一样。也就是说，在标度变动范围之内，分形几何图形由于它自身的自相似性使它用拥有了标度恒定的性质。2.3.2分维在了解和学习欧氏几何的整数维度空间的基础上，点对应着0；直线对应着1；平面对应着2；立方对应着3。从上述内容可以看出，在欧几里德的经典几何中，我们普遍讨论的维数通常是一个整型。其中，分形维数的逻辑性与欧几里德中维数空间的逻辑性有很大的区别。由于分形是一种可以用来判别其特性的固定量，同时每个分形都有一个不变量的分形维数。因此分形维数的求解有许多种，常见的求解有三种，第一，随机游走法；第二，相似维数计算法；第三，盒子维数计算法等。对于不同的分形体，可分别采用不同的方法进行测定。通常情况下，在统计上具有自相似性的分形体中，例如海岸分形维数，常常使用盒子维数计算法方法来求解；对于有严格的自相似性的分形体，可以利用相似维数计算法进行分形维数的求解。3三种经典分形算法3.1分形图的递归算法3.1.1递归的定义在计算机程序设计中，递推就是不断的对某个函数、某个程序或者某个过程进行反复的调用和操作。而递归算法就是通过某个过程中的生成标准进行连续的、间接的或直接的数据处理。其中，递归最大的特征在于仅需一小部分的递归程序就可以处理复杂繁琐的重复计算，从而大大减少了程序的编码数量，缩短计算机数据处理的时间。3.1.2递归算法的生成过程在分形中采用递归算法，是指通过反复地给定数据，且通过调用不同的对象，设定不同的规则而实现分形图形的设计。该调用可以分成两类：第一类，直接调用；第二类间接调用。其中，直接调用递归的构造如下：voidRecur(a){……Recur(b);……}过程Recur本身也会又调用自身Recur过程，即间接调用递归。间接调用递推的构造如下：voidRecur_A(a){……Recur_B(b);……}voidRecur_B(a){……Recur_A(b);……}在递归算法中，它独特的一点在可以使反复的运算变得简单，这让人不禁想起，如果电脑在绘制分形图形时，使用递归算法，即可反复地对某个特定的规律进行反复的绘制，那么就会产生出一种新的分形。同时，分形递推算法的基本原则是建立一个初始的图形得以将单元产生，再在电脑上根据最初的产生单位的画法，一遍又一遍地在各个层面上进行复制，直到满足一定的阈值才得以停止。而本文所使用的算法有三种，第一Sierpinski曲线递归算法；第二Koch曲线递归算法；第三Cantor三分集递归算法。3.2L系统文法构图算法3.2.1文法构图的生成规则从表面去理解，可以将文法构图算法解释为基于构图的基础上，遵循特定的文法规律而进行运算的过程。根据美国的一名学者乔姆斯基，他不仅是生成语法的创始人，还是著名的语言学者，根据他在20世纪提出的设想，使L系统文法构图和递归进行融合的理念，这一理念形成的中心是通过设定一组“生成规则”与本恩最初字母，并将前者持续施加在后者身上，最终获得一份连串字母。3.2.2L系统文法构图的绘图规则重写是LS文法构图算法中最重要的核心理念，其基本内涵就是依照之前规划的重写规则，持续将规则进行迭代重复，使之形成全新的面貌，并替代之前的最初规则，在根据这种算法来定义复杂物体。在分型图形上使用这种构图算法，其使用方式是将其算法中定义的字符串、文法等用具有特殊意义的图形来替换，再降重写规则进行定义最终获得的分形图形。如果大家将其当做流程图来看待，就能够更加方便了解该系统的构图过程，将其中运行的每个节点都当做是一次行动并进行判定，一般情况下就会出现下列六种现象：1.基于遇见“F”的情况，根据现在前进的方向向前一步，同时进行划线操作；2.基于遇见“f”的情况，根据现在前进的方向向前一步，不进行其他操作；3.基于遇见“＋”的情况，进行逆时针旋转特定角度操作；4.基于遇见“－”的情况，进行顺时针旋转特定角度操作；5.基于遇见“[”的情况，根据现有信息进行“压栈”操作；6.基于遇见“[”的情况，根据现有信息进行“出栈”操作。3.2.3L系统文法构图的算法该系统算法不仅涵盖了多规则文法生成算法、单一规则LS文法生成算法，还涵盖了随机LS文法生成算法。其中，多规则文法生成算法是基于单一规则文法算法的基础上矜持星一定程度改进，在规则方面进行适度的添加，可以将其想象为以达到复杂图形的要求，在字母表上添加了更多的相似元素的操作，并且为了产生更加复杂的图形，随机抽取不同的变换规则进行自然景物的描绘。而以上三种不同的算法，都是基于LS“绘图规则”与LS“生成规则”两个步骤进行完成。而以上三种不同类型的构图算法的实现代码，在本次论文中的第五章中展开解释。下图3-1为L系统文法构图算法实现步骤：3-1为L系统文法构图算法实现步骤图3.3IFS迭代系统算法3.3.1IFS迭代系统的基本概述IFS是根据分形理论的相似性而抽取的一个主要分支，也是独立学科“分形”的运用的基础。特别是在分形图形中，此算法可以将目标图形分解成多个与整体特性相当的小图形进行拼装，这其中的小图形可以看做是目标分形的缩影。3.3.2IFS算法的理论基础该算法理论基础中最主要的成分是仿射变换。而这种成分的形成是基于分形最主要的几何特点中放射性的特征基础上形成的理念。从客观角度将仿射变换与相似变换进行对比，其结果表明二者间的共性是进行方向上比例的变换，区别是前者重视变换比例与方向的区别，后者重视变换比例在方向上的一致性。进行仿射变换的每个图形都会在面积上发生变化，这种变化是面积上的大小改变。使用部分仿射变换的式子来阐述一个复杂的分形图形是不容易的，因此，在仿射式子的数量上进行增加，例如w1,w2,w3,……等进行共同阐述。仿射变换图形面积变化会导致w变换概率p数值的变换，在其中用不同仿射变换式子，其中的出来的p值也会相应发生变化，在一般情况下，其中关系为正相关，根据其中运行规律的变化，得出p值随着面积的变化而变化的结论。仿射变换具有平行性的特征，在二维平面中，只要拥有A,B,C,D,E,F,p构成IFS码的仿射变换，就可以将其中的值加入到仿射变换的式子中进行运算，最终得到特定的分形图形。3.3.3IFS迭代系统算法IFS码可以根据进行运算的仿射变换概率与系数构成各种图形，不同的IFS码可以形成规则或不规则的图形。在规则图形中，IFS码可以根据该图形的六个变换系数与几何关系来圈定结果，例如谢尔宾斯基地毯等。而如果是分形特征中的不规则图形，并且具有不规则边界，这种类型图形的IFS码只能使用“轮廓多点法”、“拼贴法”、“三点法”获取。其中获取IFS码方法是在图形特征上进行特征点上进行，以此来达到运算出IFS码构造的方程组的答案的结果。4需求分析4.1系统需求概述系统基于人们对分形概念的专研，想以此来建立一个与分形研究、分型学习相关的系统，本文主要介绍分形设计与学习系统中分形视图界面、分形学习视图界面、分形学习视图界面，并运用OOP技术和分形运算技术实现分形图的学习，理解分形图是动态产生的理论基础，并探讨分形产生规律，并亲自进行分形绘图和设计。根据之前的部分资料分析与调研信息总结，最终总结出三个必备需求：1分形设计：在经典分形图形的基础上，通过对该图形的参数进行变化与修订，以得到对应分形图形的结果。2分形学习：通过学习掌握不同分形图形算法形成的基本原理。3分形研究：对IFS迭代系统函数生成规律、单一或多规则文法生成规律进行探索。4.2系统目标分形研究和分形设计的系统目标是为达到特定要求在设计与优化系统的过程中需要完成的具体要求。根据不同要求的特点进行定性描述或者定量描述。基于上述原因，为了达到学习研究和分形设计系统中对分形学习、分形设计、分形研究三个方面的需求，特制定三个具体目标。目标一：在满足添加与删除等基本操作的前提下，通过设置与优化参数等手段将分形图修改为特定目标，以达到设计分形图形的特定形状。目标二：在满足对各种分形图进行查看的基础上，通过放映的形式对分形图的各个方面进行观察，在这个过程中，可以进行对图形的颜色等方面进行设置，最终达到生成动态分形图的结果。目标三：在满足对IFS迭代函数生成规则表单、单一或多规则文法表单查看的基础上，通过填写相应表单的形式对特定规则进行研究的目标。4.3系统功能分析将获得的信息进行整理研究，最终总结出来三个模块的功能：将分形图形作为对象进行设计、学习与研究。只有确定了系统的界定范围与则能的基础上，才能针对不同对象进行系统分析；并明确出软件的性能与各种功能；不仅如此，还要用需求用例模型来进行必要的系统分析。根据例图的呈现，将其中的功能进行明确的表达，并灵活运用活动图将系统动态行为进行明确的表达。分形设计与学习研究系统构建例图如下图4-1所示。其中，总用例图涵盖了F2分形图片学习，F1分形图片设计，F3分形图片研究三个方面。4.3.1分形图形设计模块分析做为分形设计与学习研究系统中最重要的组成部分，分形图形设计模块囊括了删除、保存、绘制分形图形等各种操作，并根据对参数的设置与修改将分形图的形状优化为合适的状态。总而言之，此模块不仅可以进行图片设计，还可以对进行分形图片观察。4.3.2分形图形学习模块分析在该模块下应当达到的要求为学习运用不同算法将LS科赫曲线等LS文法分形图形、Cantor集等普通分形图形、IFS分形树等IFS迭代系统分形图形如何动态的生成原理，意思是在图形展示区域对LS文法分形图形、普通分形图形、IFS迭代系统分形图形进行观察。综上所述，此模块可以对LS文法分形图形、普通分形图形、IFS迭代系统分形图形的原理进行学习。4.3.3分形图形研究模块分析该模块对于多规则文法生成规则、单一规则文法生成规则、IFS迭代函数文法生成法则进行随时观察，并且可以通过对参数进行改变的方式进行原理探索。5系统设计5.1总体设计根据前几章中通过对需求的研究与整理，总结出三个业务模块的要求：分形图形学习、分形图形设计、分形图形研究。为了满足上述三种需求的要求，创建了总体设计中文件夹的结构图详见下图5-1。图5-1总体设计中文件夹结构图5.2分形图形生成的程序流程图本系统是基于Java技术形成的分形图形软件，根据上文中关于分形理论知识与其中涵盖的LS文法算法，分形图递归算法，IFS迭代系统函数算法，通过利用JavaApplet小程序将分形理论中的算法进行解析，以达到生成具体的分形图形，根据现有的分形图形或生成的分形图形进行探索与学习等，下图为分形图形生成的程序流程图5-2。图5-2分形图形生成程序流程图5.3边界类的设计在研发软件过程中，主要围绕UML建模工具为中心，充分发挥其静态机制的软件优势，从而设计出对类的代码。而本文所研发的系统，是以程序编写为基础，以此设计出边界类代码程序。所谓边界类，表示的是在特定开发项目中，开展交互建立模型的类，其中包含系统所有内部与外部业务。而这种程序的优势在于以业务为中心，设计出以和人机交互图化界面，换句话说作为一个接口，其系统外部发生人机交互图形化界面状况时，其内部仅需开展边界类修改便可完成，而外部保持静止状态即可。在通常情况下，这类设计的实现，丰富了前台界面的功能，如页面跳转等。同时为学习边界类设计，应从三个方面着手，即分形学习、分形设计与分形研究，这三个生成界面的熟练掌握对于研发这类程序是必经之路。5.3.1分形图形设计其中，FADPackage、LSTreePackage两个包的设计，其目的在于满足分形图形的功能需求。前者的类别较多，如DrawPanel等。而后者高达28个类别，如Tree01等。详情参见5-3。图5-3FADPackage包和LSTreePackage包在所研发的分形图形中，由于模块的包与边界类各不相同，因此边界类与其对应含义也存在一定差异，详情参见图5-1。表5.1模块边界类的含义表格其中图5-2、5-3、5-4与5-5，分别表示的是四种属性表，依次为Pen类、Point类、KochSnow类与Cantor类。表5.2画笔属性表表5.3点的属性表表5.4KochSnow属性表表5.5Cantor属性表5.3.2模块边界类的设计在学习分形设计过程中，需要掌握模块主界面中所包含的各种系统，如LS文法、IFS迭代系统等三个子文件夹。其中，fractalstudy、fractalstudy.study包的特点在于创建了主界面，依次丰富了分形图形设计，而fractalstudy.trees包的实现，促进了三个子文件夹的生成，即IFS迭代系统、LS文法与普通分形图形。综上所述三个包的建立，是组成分形图形模块的重要部分。其中，Top、MyOne等五个类，涵盖在FractalStudy中。fractalstudy.trees包所涉及的分形图形类众多，高达59种，如LSTree01、Cantor等。而StudyTree类隶属于导航属性类组件，其包含在fractalstudy.study包中。在所研发的分形图形中，由于模块的包与边界类各不相同，因此边界类与其对应含义也存在一定差异，详情参见5-6示意图。表5.6关于模块边界类的统计表对于分形图形的学习，需要借助fractalstudy.trees包来实现，其所包含的59种所有不同分形图形类，如Cantor等能够为三个子文件夹的学习提供有利契机，即IFS迭代系统、LS文法与普通分形图形。5.3.3模块边界类的研发在设计分形图形系统过程中，主要围绕三个子文件夹进行研发，其目的在于建立三种生成规则的建立，即IFS迭代系统、多规则LS与单一规则LS文法。其中，FractalResearch类包含在fractalresearch包，而隶属于Kind01、stapel等五个类，包含在trees包中，这两个包同属于分形图形模块中。在所研发的分形图形中，由于模块的包与边界类各不相同，因此边界类与其对应含义也存在一定差异，详情参见5-7示意图。表5.7模块边界类的描述表6分形图形设计与分形研究学习系统的实现6.1系统软件开发环境所谓JAVA，表示的是以计算机为中心，所研发的一种面向对象的编程语言，这种系统的优势在于分布广泛，同时兼具较强的移植性与动态特点。当前，随着时代的不断发展，其在诸多学科领域中的应用也较为广泛。而这种系统功能的建立，也实现了人机交互、多媒体插入、切换控制界面字体等。其中，为设计出抽象窗口工具箱，研发出AWT工具，这种窗口环境工具的创建得益于Applet。该工具的工作原理是以计算机为媒介，从而充分发挥GUI元素优势，最终实现图形用户界面的建立。除此以外，为解决跨平台难题，也可以发挥JAVA语言优势，利用其可移植性特点来实现。而与Eclipse相比，MyEclipse8.5是在前者的基础上，进行改进与升级的版本，从而赋予了其更强大的功能，以此为开发移动应用提供有利契机，两者的共同之处在于为其企业级集成开发环境所用。而后者的优势在于自身高效的工作率，其主要围绕应用程序服务器、数据库等来实现。同时具有保障mysql与tomcat正常运行的功能，这主要是源于自身多元化的JavaEE集成开发环境。所以说Java系统的建立，是充分发挥MyEclipse8.5优势，以此为分形图形的开发奠定基础。6.2分形图形设计模块的实现其中，工具栏与绘图区域两大部分，显示在分形图形的主界面中。工具栏中涉及的模块众多，如绘图、画笔等。而绘图区展示的是具体操作步骤，是集修改、编辑等功能于一体的场所，以此实现图形的改变。主界面详情参见6-1。图6-1分形模块中的主界面在6-2中，借助画笔在笔工具栏绘制各种图形，详情参见下面图片；在颜色工具栏中可以发现，在对画笔进行各种调整与设置后，从而可以改变其前景色、颜色等；同时在绘图区中，能够形成30种经典分形图形。图6-2画笔绘制图形例如，Koch雪花中的分形图形设计中，是以绘图工具栏为基础，充分发挥三种经典绘图图形工具优势，从而在其设计界面中绘制出绘图。在6-3图，显示的是在系统主界面中，首先需要点击菜单中的分形设计，然后进入分型设计界面，随后点击左边鼠标，进入菜单栏中的测绘图工图标，最后单击进入绘图区域，从而开展浏览工序所生成的图形。图6-3Koch曲线图在6-4绘图区，显示的是针对调色板对话框，对其字体进行颜色设置，以及修改工序。而在RGB、HSB与样品色中，也同样具有这类功能。图6-4颜色设置6.3分形图形学习模块的实现其中，学习导航区与图形观察区两大板块，是组成分形图形的重要两部分。前者的显著特点在于对各种分形图形选择，如IFS迭代系统、普通分形图形等。而后者与前者形成对应，并将各自的界面展示出来。该模块具有分形图形演示外，同时兼具各种操作，以及设置与修改等功能。其对应主界面详情参见6-5。图6-5学习模块主界面图为建立分形图形动态界面，需要借助其观察区域，从而实现对其的播放、继续等功能。而谢尔宾斯基地毯图形的建立，首先需要找到其导航区位置，然后双击其学习文件夹形成普通分形，随后在菜单下方单击Sierpinski地毯，最后显示在其右侧位置，详情参见6-6示意图。图6-6Sierpinski地毯图为获取停止时刻的图形变化，需要先单击播放按钮，随后对其图形变化进行观察，最后在任意时刻点击播放键即可，详情参见6-7。图6-7任意点击播放键记录界面所对应的图形在掌握分形图形过程中，需要充分发挥学习模块优势，从而相应调整播放间隔时间，这样做的目的在于观察不同图形的变化情况，并通过对比生成各种图形。也可以通过对其进步条进行调整来实现。6.4分形图形研究模块的实现研究导航区与生成规则设置区两大块，是形成研究模块的重要部分。其中前者主要是围绕三个文法，即多规则LS、单一规则LS与IFS迭代系统构图，开展生成规则的研究。而后者则呈现的是具体的生成研究过程。详情主界面参见6-8。图6-8研究模块与主界面对应表格总结当前，随着科学领域前沿技术的发展，分形理论逐渐走进人们的生活与工作，值得一提的是在计算机技术的加持下，同时与各种分形算法理论相结合，从而建立了不同类型的分形图形，由此可见，该理论的重要性不言而喻。笔者在深入探讨分形图形过程中，首先以分形理论为基础，对其开展相关书籍与