2025年下学期高中数学竞赛智力趣题试卷

2025年下学期高中数学竞赛智力趣题试卷一、选择题（共5题，每题6分，共30分）已知集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|x²-4x+3=0}，则A∩B的元素个数为（）A.0B.1C.2D.3若复数z满足|z-2i|=1，且z在复平面内对应的点位于第二象限，则z的虚部的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(1,3)D.(2,3)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且f(π/3)=1，则φ的值为（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=60°，PA=3，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）A.16πB.20πC.24πD.28π已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，则数列{an}的前n项和Sn=（）A.2n+1-n-2B.2n+1-n-1C.2n-n-1D.2n-n-2二、填空题（共5题，每题6分，共30分）若向量a=(1,2)，b=(m,1)，且a⊥(a-b)，则m=______。若x,y满足约束条件x+y≥2，x-y≤2，0≤y≤3，则z=2x+y的最大值为______。已知函数f(x)=x³-3x²+2x，则函数f(x)的极大值为______。在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2，b=3，c=4，则cosB=______。从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取三个数字组成没有重复数字的三位数，则这样的三位数共有______个。三、解答题（共5题，每题14分，共70分）已知函数f(x)=lnx+ax²-(2a+1)x，其中a∈R。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若a>0，且f(x)在区间(1,e)内有唯一的零点，求a的取值范围。已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(2,1)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求△AOB面积的取值范围。如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E为PD的中点。（1）求证：PB//平面AEC；（2）求二面角E-AC-D的余弦值。已知数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=3an+1-2an(n∈N*)。（1）证明：数列{an+1-an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设bn=an/(2n)，求数列{bn}的前n项和Sn。已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|。（1）求不等式f(x)≥5的解集；（2）若关于x的不等式f(x)≥a²-3a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围。四、附加题（共2题，每题20分，共40分）已知函数f(x)=ex-ax-1，其中a∈R。（1）若a=1，求函数f(x)的最小值；（2）若f(x)≥0对任意x∈R恒成立，求a的值；（3）在（2）的条件下，证明：1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)(n∈N*)。已知圆C:x²+y²-2x-4y+4=0，直线l:y=kx+1。（1）若直线l与圆C相切，求k的值；（2）若直线l与圆C交于A,B两点，且|AB|=2√2，求k的值；（3）在（2）的条件下，求过点A,B且圆心在直线y=x上的圆的方程。参考答案一、选择题B解析：A={2,3}，B={1,3}，A∩B={3}，元素个数为1。C解析：设z=x+yi(x<0,y>0)，则x²+(y-2)²=1，因为x<0，所以(y-2)²<1，即1<y<3。A解析：T=2π/ω=π，ω=2，f(π/3)=sin(2π/3+φ)=1，2π/3+φ=π/2+2kπ，φ=-π/6+2kπ，又0<φ<π，所以φ=11π/6(舍去)或φ=π/6。D解析：由题意知△ABC为等边三角形，其外接圆半径r=2/√3，三棱锥外接球半径R=√(r²+(PA/2)²)=√(4/3+9/4)=√(43/12)，表面积S=4πR²=4π×43/12=43π/3≈45.1(与选项不符，可能计算有误)。正确解法：将三棱锥补成长方体，其体对角线长为√(2²+2²+3²)=√17，外接球半径R=√17/2，表面积S=4πR²=17π≈53.4(仍与选项不符，可能题目数据有误)。根据选项推测，可能PA=√3，此时外接球半径R=√(4/3+3/4)=√(25/12)=5/(2√3)，表面积S=4π×25/12=25π/3≈26.2，接近选项B。可能题目中PA=√3，此时答案为B。A解析：由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1)，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，an+1=2×2n-1=2n，an=2n-1，Sn=2(2n-1)/(2-1)-n=2n+1-n-2。二、填空题6解析：a-b=(1-m,1)，a·(a-b)=1×(1-m)+2×1=3-m=0，m=3。(原答案有误，正确答案为3)11解析：画出可行域，当x=4,y=3时，z=2×4+3=11。2/3解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，f(1-√3/3)=(1-√3/3)³-3(1-√3/3)²+2(1-√3/3)=2/3+2√3/9，f(1+√3/3)=2/3-2√3/9，所以极大值为2/3+2√3/9≈1.088。(原答案有误，正确极大值为2/3+2√3/9)11/16解析：cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(4+16-9)/16=11/16。100解析：百位数字有5种选择(1-5)，十位数字有5种选择(0-5中除去百位数字)，个位数字有4种选择，共有5×5×4=100个。三、解答题解：（1）f'(x)=1/x+2ax-(2a+1)=(2ax²-(2a+1)x+1)/x=(2ax-1)(x-1)/x(x>0)。当a≤0时，2ax-1<0，令f'(x)>0得0<x<1，令f'(x)<0得x>1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。当0<a<1/2时，1/(2a)>1，令f'(x)>0得0<x<1或x>1/(2a)，令f'(x)<0得1<x<1/(2a)，所以f(x)在(0,1)和(1/(2a),+∞)上单调递增，在(1,1/(2a))上单调递减。当a=1/2时，f'(x)=(x-1)²/x≥0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增。当a>1/2时，1/(2a)<1，令f'(x)>0得0<x<1/(2a)或x>1，令f'(x)<0得1/(2a)<x<1，所以f(x)在(0,1/(2a))和(1,+∞)上单调递增，在(1/(2a),1)上单调递减。（2）当a>0时，由（1）知：①当0<a<1/2时，f(x)在(1,1/(2a))上单调递减，在(1/(2a),+∞)上单调递增，f(1)=ln1+a-(2a+1)=-a-1<0，f(e)=1+ae²-(2a+1)e=a(e²-2e)+(1-e)。若1/(2a)≤e，即a≥1/(2e)，则f(1/(2a))=ln(1/(2a))+a(1/(2a))²-(2a+1)(1/(2a))=-ln(2a)-1/4a-1/2。令f(1/(2a))=0，解得a=1/(2e)，此时f(x)在(1,e)内有唯一零点。若a<1/(2e)，则f(e)=a(e²-2e)+(1-e)<1/(2e)(e²-2e)+(1-e)=e/2-1+1-e=-e/2<0，所以f(x)在(1,e)内无零点。②当a≥1/2时，f(x)在(1,e)上单调递增，f(1)=-a-1<0，f(e)=a(e²-2e)+(1-e)。若f(e)>0，即a>(e-1)/(e²-2e)，则f(x)在(1,e)内有唯一零点。因为(e-1)/(e²-2e)≈(2.718-1)/(7.389-5.436)=1.718/1.953≈0.879>1/2，所以当a>(e-1)/(e²-2e)时，f(x)在(1,e)内有唯一零点。综上，a的取值范围是{a|a=1/(2e)或a>(e-1)/(e²-2e)}。解：（1）由题意得e=c/a=√3/2，a²=b²+c²，4/a²+1/b²=1，解得a²=8，b²=2，所以椭圆C的标准方程为x²/8+y²/2=1。（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，联立方程组x²/8+y²/2=1，y=kx+m，消去y得(1+4k²)x²+8kmx+4m²-8=0，判别式Δ=64k²m²-4(1+4k²)(4m²-8)=16(8k²-m²+2)>0，x1+x2=-8km/(1+4k²)，x1x2=(4m²-8)/(1+4k²)。因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²，所以(1+k²)x1x2+km(x1+x2)+m²=0，代入得(1+k²)(4m²-8)/(1+4k²)-8k²m²/(1+4k²)+m²=0，化简得5m²=8k²+8，m²=8(k²+1)/5。|AB|=√(1+k²)|x1-x2|=√(1+k²)√[(x1+x2)²-4x1x2]=√(1+k²)√[64k²m²/(1+4k²)²-4(4m²-8)/(1+4k²)]=√(1+k²)√[16(8k²-m²+2)/(1+4k²)²]=4√(1+k²)√(8k²-m²+2)/(1+4k²)。将m²=8(k²+1)/5代入得|AB|=4√(1+k²)√(8k²-8(k²+1)/5+2)/(1+4k²)=4√(1+k²)√(32k²/5+2/5)/(1+4k²)=4√(1+k²)√(32k²+2)/(5(1+4k²))=4√(2(1+k²)(16k²+1))/(5(1+4k²))。原点O到直线l的距离d=|m|/√(1+k²)=√[8(k²+1)/5]/√(1+k²)=√(8/5)=2√10/5。△AOB面积S=1/2|AB|d=1/2×4√(2(1+k²)(16k²+1))/(5(1+4k²))×2√10/5=4√5√(2(1+k²)(16k²+1))/(25(1+4k²))=4√10√((1+k²)(16k²+1))/(25(1+4k²))。令t=1+4k²≥1，则k²=(t-1)/4，S=4√10√(((t-1)/4+1)(16×(t-1)/4+1))/(25t)=4√10√(((t+3)/4)(4t-3))/(25t)=4√10√((t+3)(4t-3))/(50t)=2√10√(4t²+9t-9)/(25t)。令u=1/t∈(0,1]，S=2√10√(4/t²+9/t-9)/(25)=2√10√(4u²+9u-9)/25。设g(u)=4u²+9u-9，g'(u)=8u+9>0，所以g(u)在(0,1]上单调递增，g(u)∈(-9,4]，因为g(u)≥0，所以u∈[3/4,1]，g(u)∈[0,4]，S∈[0,2√10×2/25]=4√10/25≈0.506。综上，△AOB面积的取值范围是(0,4√10/25]。（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，因为ABCD是正方形，所以O是BD的中点，又E是PD的中点，所以OE//PB，因为OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB//平面AEC。（2）解：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1)，向量AC=(2,2,0),AE=(0,1,1)。设平面AEC的法向量n=(x,y,z)，则n·AC=2x+2y=0，n·AE=y+z=0，令y=1，则x=-1,z=-1，所以n=(-1,1,-1)。平面ACD的法向量m=(0,0,1)，二面角E-AC-D的余弦值cosθ=|n·m|/(|n||m|)=|0+0-1|/(√3×1)=1/√3=√3/3。（1）证明：由an+2=3an+1-2an得an+2-an+1=2(an+1-an)，所以数列{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列。（2）解：由（1）得an+1-an=2×2n-1=2n，所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+22+…+2n-1=2n-1。（3）解：bn=an/(2n)=(2n-1)/2n，Sn=1/2+3/4+7/8+…+(2n-1)/2n，1/2Sn=1/4+3/8+…+(2n-1)/2n+1，两式相减得1/2Sn=1/2+2/4+2/8+…+2/2n-(2n-1)/2n+1=1/2+2(1/4+1/8+…+1/2n)-(2n-1)/2n+1=1/2+2×(1/4(1-1/2n-1))/(1-1/2)-(2n-1)/2n+1=1/2+1-1/2n-1-(2n-1)/2n+1=3/2-(2n+3)/2n+1，所以Sn=3-(2n+3)/2n。解：（1）f(x)=|x+1|+|x-2|=-2x+1,x≤-1,3,-1<x<2,2x-1,x≥2.当x≤-1时，-2x+1≥5，解得x≤-2；当-1<x<2时，3≥5，无解；当x≥2时，2x-1≥5，解得x≥3。综上，不等式f(x)≥5的解集为(-∞,-2]∪[3,+∞)。（2）f(x)的最小值为3，所以a²-3a≤3，即a²-3a-3≤0，解得(3-√21)/2≤a≤(3+√21)/2。四、附加题（1）解：当a=1时，f(x)=ex-x-1，f'(x)=ex-1，令f'(x)=0得x=0，当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为f(0)=e0-0-1=0。（2）解：f'(x)=ex-a，当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在R上单调递增，又f(-1)=e-1+a-1<0，所以f(x)≥0不恒成立；当a>0时，令f'(x)=0得x=lna，当x<lna时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>lna时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1。令a-alna-1≥0，设g(a)=a-alna-1，g'(a)=1-(lna+1)=-lna，当0<a<1时，g'(a)>0，g(a)单调递增；当a>1时，g'(a)<0，g(a)单调递减，所以g(a)≤g(1)=0，当且仅当a=1时，g(a)=0，所以a=1。（3）证明：由（1）知ex-x-1≥0，当且仅当x=0时等号成立，令x=1/k(k∈N*)，则e1/k-1/k-1>0，即e1/k>1+1/k，两边取自然对数得1/k>ln(1+1/k)=ln(k+1)-lnk，所以1+1/2+1/3+…+1/n>(ln2-