2025年下学期高中数学开放题创新思维试卷

2025年下学期高中数学开放题创新思维试卷一、函数与导数综合探究题题目：已知函数$f(x)=e^x-ax^2-bx-1$，其中$a,b\in\mathbb{R}$。（1）若$a=b=0$，求$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最值；（2）若$f(x)$在$x=0$处取得极值，且在$(0,+\infty)$上单调递增，探究$a$与$b$满足的关系；（3）请自选一个生活场景（如人口增长、投资收益等），建立与$f(x)$相关的数学模型，并结合导数知识分析该场景中的变化规律。解答思路：（1）直接代入参数得$f(x)=e^x-1$，求导得$f'(x)=e^x>0$，故函数在$[-1,1]$上单调递增，最小值为$f(-1)=e^{-1}-1$，最大值为$f(1)=e-1$。（2）由极值条件$f'(0)=0$得$1-b=0\Rightarrowb=1$。又因$f(x)$在$(0,+\infty)$递增，需$f'(x)=e^x-2ax-1\geq0$恒成立。通过分类讨论$a$的取值范围（如$a\leq0$时显然成立，$a>0$时需结合二阶导数$f''(x)=e^x-2a$分析极值点），最终可得$a\leq\frac{1}{2}$。（3）示例场景：某公司新产品用户增长模型。设$x$为上线时间（月），$f(x)$为累计用户数（万人），$e^x$表示自然增长趋势，$-ax^2$表示市场饱和抑制效应。通过求导$f'(x)$可分析用户增长速率变化，当$f'(x)=0$时达到增长峰值，此后增速放缓，可指导公司调整营销投入策略。二、立体几何与空间想象题题目：现有一个棱长为4的正方体木块，在其顶点$A$处钻一个半径为1的圆柱形通孔，通孔轴线沿正方体体对角线方向，直至对面顶点$C_1$。（1）求剩余木块的表面积（通孔内壁面积计入表面积）；（2）若在剩余木块内部放置一个体积最大的球，求该球的半径；（3）请设计一个由正方体切割得到的几何体，使其同时满足：①有且仅有3个面为曲面；②三视图中至少有两个视图为全等的矩形。描述该几何体的结构特征并计算其体积。解答要点：（1）正方体表面积为$6\times4^2=96$，减去两个通孔截面面积$2\times\pi\times1^2=2\pi$，加上通孔内壁面积（圆柱侧面积）。体对角线长为$4\sqrt{3}$，故内壁面积为$2\pi\times1\times4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\pi$，剩余表面积为$96-2\pi+8\sqrt{3}\pi$。（2）剩余木块内部空间需同时避开正方体棱角和通孔圆柱。通过分析正方体中心到通孔轴线的距离（利用空间直角坐标系计算），结合球与圆柱相切条件，可得最大球半径$r=\frac{4-\sqrt{2}}{2}$（需验证球是否与正方体各面及通孔内壁均不相交）。（3）设计示例：在棱长为$a$的正方体中，分别沿三组对面的中心轴挖去半径为$r$的半圆柱（仅保留一个方向的完整圆柱），形成“十字形”通孔。此时几何体有3个曲面（圆柱侧面），正视图和侧视图均为长$a$、宽$a-2r$的矩形，俯视图为带两个半圆的矩形。体积计算需用正方体体积减去三个半圆柱体积（注意避免重复扣除重叠部分）。三、概率统计与数据分析题题目：某中学为研究学生每周体育锻炼时间与学业成绩的关系，随机抽取100名学生，得到如下数据：锻炼时间/小时学业成绩优秀人数学业成绩非优秀人数总计$t<3$52530$3\leqt<6$153550$t\geq6$101020总计3070100（1）能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“体育锻炼时间与学业成绩优秀有关”？（参考公式：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，临界值$\chi^2_{0.01}=6.635$）（2）从“$t\geq6$”组中按成绩分层抽样选取6人，再从这6人中随机选2人，求至少有1人成绩优秀的概率；（3）请指出该研究可能存在的两个潜在问题（如样本偏差、变量控制等），并提出改进方案。解答过程：（1）计算$\chi^2=\frac{100\times(5\times35-25\times15)^2}{30\times70\times30\times70}\approx4.76<6.635$，故不能在0.01显著性水平下认为两者有关。（2）分层抽样后，优秀生4人（记为A,B,C,D），非优秀生2人（记为a,b）。总组合数为$C_6^2=15$，对立事件“无优秀生”仅1种（ab），故所求概率为$1-\frac{1}{15}=\frac{14}{15}$。（3）潜在问题：样本偏差：仅抽取一所中学，可能受学校生源、教学质量影响；混淆变量：未控制学生基础成绩、家庭环境等因素。改进方案：采用多中心抽样（不同类型学校），增加“入学成绩”协变量，通过多元回归分析控制混杂因素。四、数列与数学文化题题目：《九章算术》中有“衰分术”记载：“衰分，差分也。”即按比例递减分配。现有一问题：（1）古代某县征收粮食，甲、乙、丙三乡人口比为5:3:2，共征收6000石，按人口比例衰分，求各乡征收量；（2）定义“衰分数列”：若数列${a_n}$满足$a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n$，且$a_1=100$，求其前n项和$S_n$；（3）结合“衰分术”思想，设计一个公平的奖学金分配方案：某班级50人，奖学金总额5000元，需考虑学生平时成绩（占比p）、竞赛获奖（占比q）、社会实践（占比r）三个维度，其中$p+q+r=1$。请设定p,q,r的值，并说明分配公式的合理性。解答要点：（1）按比例5:3:2分配，总份数10，甲乡$6000\times\frac{5}{10}=3000$石，乙乡1800石，丙乡1200石。（2）由递推关系得$a_n=a_1\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\cdots\times\frac{n-1}{n}=\frac{100}{n}$，故$S_n=100(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n})=100H_n$（$H_n$为第n项调和数）。（3）分配方案示例：设$p=0.6,q=0.3,r=0.1$。先将每个学生的三个维度成绩标准化（如平时成绩$x_i$转化为$x_i/\max(x_i)$），再计算综合得分$S_i=0.6x_i+0.3y_i+0.1z_i$，最后按$\frac{S_i}{\sumS_i}\times5000$分配奖学金。合理性在于：平时成绩占比最高确保基础公平，竞赛和实践体现差异化激励，且总和为1满足权重归一性。五、解析几何与优化应用题题目：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆右焦点F作斜率为k的直线l，交椭圆于A,B两点，O为坐标原点，求$\triangleAOB$面积的最大值；（3）某工厂计划用椭圆C的图形设计一款产品标签，标签周长需控制在10cm以内，且长轴不超过6cm。若标签材料成本与面积成正比，求成本最低时的椭圆参数$a,b$。解答过程：（1）由离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，又$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}$。代入点$(2,1)$得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{a^2/4}=1\Rightarrowa^2=8$，故椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。（2）右焦点$F(\sqrt{6},0)$，设直线$l:y=k(x-\sqrt{6})$，联立椭圆方程得$(1+4k^2)x^2-8\sqrt{6}k^2x+24k^2-8=0$。利用弦长公式$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta}}{1+4k^2}$及原点到直线距离$d=\frac{|\sqrt{6}k|}{\sqrt{1+k^2}}$，得面积$S=\frac{1}{2}|AB|\cdotd=\frac{2\sqrt{2}\sqrt{4k^2-4k^4}}{1+4k^2}$。令$t=1+4k^2\geq1$，换元后求导得$S_{\text{max}}=\sqrt{2}$。（3）优化模型：椭圆周长$L\approx2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$（近似公式），约束条件$L\leq10$，$2a\leq6\Rightarrowa\leq3$，目标函数$S=\piab$最小。结合$b=\frac{a}{2}$（由（1）中离心率关系），代入得$L\approx2\pi\sqrt{\frac{a^2+a^2/4}{2}}=\pia\sqrt{\frac{5}{2}}\leq10\Rightarrowa\leq\frac{10\sqrt{10}}{5\pi}\approx2.01$，故成本最低时$a\approx2.01cm$，$b\approx1.005cm$。六、数学建模与跨学科综合题题目：结合以下背景信息，完成数学建模任务：背景：某城市共享单车投放点A和B相距10公里，A点有120辆单车，B点有80辆，每小时从A到B的骑行需求为30人次，从B到A为20人次（每人骑走1辆）。问题：若单车公司每小时可调度m辆单车（从过剩点运往短缺点），调度成本为2元/辆·公里。（1）建立投放点单车数量随时间变化的微分方程模型（不求解）；（2）若要使两投放点单车数量在2小时内达到平衡（差距≤5辆），求最小调度量m；（3）请从“低碳出行”角度，为该模型增加一个优化目标（如减少碳排放），并说明如何修改模型。建模过程：（1）设$x(t)$为t时刻A点单车数，则B点为$200-x(t)$。净需求导致A点每小时减少$30-20=10$辆，调度量为$m$（当$x(t)>100$时从A调往B，否则反向），故微分方程为：$$\frac{dx}{dt}=-10-m\cdot\text{sgn}(x(t)-100)$$（其中$\text{sgn}$为符号函数，$x>100$时取1，$x<100$时取-1）。（2）初始状态$x(0)=120$，需$x(2)\in[95,105]$。前2小时A点需净减少$120-x(2)\geq15$辆，每小时减少量为$10+m$，故$2(10+m)\geq15\Rightarrowm\geq2.5$，取最小整数$m=3$。（3）低碳优化目标：设每辆单车骑行1公里碳排放为$k$克，调度车辆碳排放为$n$克/辆·公里（$n>k$，因货车调度排放更高）。修改目标函数为总碳排放$C=k(30+20)t+2mnt$（2为往返距离），需在满足调度需求的前提下最小化$C$，即优先通过自然骑行平衡单车，减少人工调度量$m$。七、逻辑推理与排列组合题题目：某密码锁有6个拨盘，每个拨盘有0-9共10个数字，开锁需满足以下条件：①6位数字中奇数与偶数个数相等；②相邻两个数字之和为质数；③从左到右，数字依次不递减。（1）求满足条件①的密码共有多少种？（2）在条件①下，求同时满足条件②的密码个数；（3）请设计一个新的密码条件（替换条件③），使密码总数减少至少50%，并说明理由。推理计算：（1）6位数字中3奇3偶，奇数有1,3,5,7,9（5种），偶数有0,2,4,6,8（5种），故个数为$C_6^3\times5^3\times5^3=20\times125\times125=312500$种。（2）示例分析：首位数字为0（偶数），则第二位需为奇质数（1,3,5,7），且和为质数（如0+1=1非质数，0+3=3是质数）。通过树形图枚举首位奇偶性、相邻和的质数组合（如偶+奇=奇质数，奇+偶=奇质数，偶+偶=偶质数仅2），最终可得符合条件的密码约120种（需分情况讨论首位是否为0）。（3）新条件设计：替换条件③为“6位数字中包含至少两个相同的数字且能被3整除”。理由：原条件③下密码为组合数$C_{10+6-1}^6=5005$种（不递减序列），新条件需同时满足：数字和为3的倍数，且存在重复数字。通过容斥原理计算，总数将大幅减少（如能被3整除的密码占1/3，含重复数字的占比约70%），满足减少50%的要求。八、创新实践与编程应用题题目：利用Python或伪代码解决以下问题：（1）编写一个函数，输入一个正整数n，输出由“*”组成的n层“分形三角形”（示例：n=2时图形如下）：*********（2）分析该分形图形的递归结构，求n层分形三角形中“”的总数；（3）若用该分形模型模拟病毒扩散，每一层“”代表感染节点，相邻节点感染概率为p，求n=3时的总感染概率（假设初始仅顶层1个节点感染）。实践指导：（1）伪代码实现：deffractal_triangle(n):ifn==1:print("*")print("**")print("**