2025年下学期高中数学模块六试卷

2025年下学期高中数学模块六试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))复数(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec{b}))，则(m=)（）A.-1B.1C.-3D.3函数(f(x)=\ln(x^2-2x)+\sqrt{9-x^2})的定义域是（）A.((-3,0)\cup(2,3))B.([-3,0)\cup(2,3])C.((-3,0]\cup[2,3))D.([-3,0]\cup[2,3])某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.(12\pi)B.(18\pi)C.(24\pi)D.(36\pi)（注：此处默认三视图为一个底面半径3cm、高4cm的圆柱挖去一个同底等高的圆锥）已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_2=2)，(S_3=7)，则公比(q=)（）A.2B.(\frac{1}{2})C.2或(\frac{1}{2})D.-2或(-\frac{1}{2})函数(f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right))的图象可由函数(g(x)=\cos2x)的图象（）A.向左平移(\frac{\pi}{12})个单位长度B.向右平移(\frac{\pi}{12})个单位长度C.向左平移(\frac{\pi}{6})个单位长度D.向右平移(\frac{\pi}{6})个单位长度执行如图所示的程序框图，若输入(n=5)，则输出的(S=)（）A.10B.15C.20D.25（注：程序框图功能为计算(S=1+3+5+\cdots+(2n-1))）已知(f(x))是定义在(R)上的奇函数，且当(x\geq0)时，(f(x)=x^2-2x)，则不等式(f(x)>x)的解集为（）A.((-3,0)\cup(3,+\infty))B.((-3,0)\cup(0,3))C.((-\infty,-3)\cup(3,+\infty))D.((-\infty,-3)\cup(0,3))在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，则(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.3D.4已知抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，过点(F)的直线交抛物线于(A,B)两点，若(|AF|=3)，则(|BF|=)（）A.(\frac{3}{2})B.2C.3D.4已知函数(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)处取得极大值，在(x=3)处取得极小值，则(a+b=)（）A.-10B.-8C.8D.10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若(\tan\alpha=2)，则(\sin2\alpha=)__________。已知直线(l:y=kx+1)与圆(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)两点，若(|AB|=2\sqrt{3})，则(k=)__________。某学校高二年级共有500名学生，其中男生300名，女生200名。现采用分层抽样的方法从该年级学生中抽取50名学生进行视力检查，则应抽取男生__________名。已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_2x,&x>0,\end{cases})则(f(f(-1))=)；若(f(a)=\frac{1}{2})，则(a=)。（本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知数列({a_n})是等差数列，且(a_1=1)，(a_3+a_5=14)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）设(b_n=2^{a_n})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。（本小题满分12分）某中学为了解学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表：经常锻炼不经常锻炼总计男生402060女生251540总计6535100（1）根据列联表，判断是否有95%的把握认为“学生的性别与是否经常锻炼有关”；（2）从经常锻炼的学生中按性别分层抽样抽取13人，再从这13人中随机抽取2人参加体育知识竞赛，求至少有1名女生的概率。参考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)。参考数据：(P(K^2\geqk_0))0.0500.0100.001(k_0)3.8416.63510.828（本小题满分12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，点(D,E)分别是棱(BC,B_1C_1)的中点。（1）求证：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求三棱锥(A_1-ADE)的体积。（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(M,N)两点，(O)为坐标原点，若(k_{OM}\cdotk_{ON}=-\frac{1}{4})，求(\triangleOMN)面积的最大值。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(a\inR)）。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若(f(x)\geq0)对任意(x\inR)恒成立，求实数(a)的值；（3）在（2）的条件下，证明：(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1))（(n\inN^*)）。（本小题满分12分）在平面直角坐标系(xOy)中，已知曲线(C_1)的参数方程为(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)为参数），以坐标原点(O)为极点，(x)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(C_2)的极坐标方程为(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲线(C_1)的普通方程和曲线(C_2)的直角坐标方程；（2）设点(P)在曲线(C_1)上，点(Q)在曲线(C_2)上，求(|PQ|)的最小值及此时点(P)的坐标。参考答案及评分标准（仅供阅卷参考）一、选择题A2.D3.C4.B5.B6.C7.A8.B9.D10.C11.A12.B二、填空题(\frac{4}{5})14.(0)或(\pm1)15.3016.(-1)；(-1)或(\sqrt{2})三、解答题（1）设等差数列({a_n})的公差为(d)，由(a_3+a_5=14)得(2a_1+6d=14)，又(a_1=1)，解得(d=2)，所以(a_n=1+2(n-1)=2n-1)。（5分）（2）(b_n=2^{a_n}=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\cdot4^n)，所以(T_n=\frac{1}{2}(4+4^2+\cdots+4^n)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{2(4^n-1)}{3})。（10分）（1）由列联表得(K^2=\frac{100\times(40\times15-20\times25)^2}{60\times40\times65\times35}\approx0.327<3.841)，所以没有95%的把握认为“学生的性别与是否经常锻炼有关”。（6分）（2）抽取的13人中，男生(\frac{40}{65}\times13=8)人，女生5人。设“至少有1名女生”为事件(A)，则(P(A)=1-\frac{C_8^2}{C_{13}^2}=1-\frac{28}{78}=\frac{25}{39})。（12分）（1）连接(A_1B)，在直三棱柱中，(D,E)分别为(BC,B_1C_1)的中点，所以(DE\parallelA_1B)，又(A_1B\subset)平面(ABB_1A_1)，(DE\not\subset)平面(ABB_1A_1)，故(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)。（6分）（2）由题意得(S_{\triangleADE}=\frac{1}{2}\timesAD\timesAE=\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\frac{\sqrt{10}}{2})，三棱锥(A_1-ADE)的高为(AA_1=2)，所以体积(V=\frac{1}{3}\timesS_{\triangleADE}\timesAA_1=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{10}}{2}\times2=\frac{\sqrt{10}}{3})。（12分）（1）由离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，又(a^2=b^2+c^2)，所以(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})。将点((2,1))代入椭圆方程得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故椭圆方程为(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（6分）（2）联立直线与椭圆方程得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，设(M(x_1,y_1),N(x_2,y_2))，则(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由(k_{OM}\cdotk_{ON}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4})得(4y_1y_2+x_1x_2=0)，代入化简得(2m^2=4k^2+1)。原点到直线(l)的距离(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，(|MN|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{2(1+4k^2-m^2)}}{1+4k^2}=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{1+4k^2}}{1+4k^2}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+4k^2}})，所以(S_{\triangleOMN}=\frac{1}{2}|MN|\cdotd=\sqrt{2}\cdot\frac{|m|}{\sqrt{1+4k^2}}=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{\frac{4k^2+1}{2}}}{\sqrt{1+4k^2}}=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1)，即面积最大值为1。（12分）（1）(f'(x)=e^x-a)，当(a\leq0)时，(f'(x)>0)，(f(x))在(R)上单调递增；当(a>0)时，令(f'(x)=0)得(x=\lna)，当(x<\lna)时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，当(x>\lna)时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增。（4分）（2）由（1）知，当(a>0)时，(f(x))在(x=\lna)处取得最小值(f(\lna)=a-a\lna-1)，令(g(a)=