2025年下学期高中数学模块四试卷

2025年下学期高中数学模块四试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在△ABC中，已知a=3，b=4，∠A=30°，则∠B的解的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.无法确定若sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则cos(α-π/4)的值为（）A.-√2/10B.√2/10C.7√2/10D.-7√2/10函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和对称轴方程分别为（）A.π，x=kπ/2+π/12（k∈Z）B.2π，x=kπ+π/12（k∈Z）C.π，x=kπ/2-π/6（k∈Z）D.2π，x=kπ-π/6（k∈Z）在△ABC中，若a²=b²+c²+bc，则∠A的度数为（）A.30°B.60°C.120°D.150°函数f(x)=3sinx+4cosx的最大值为（）A.5B.7C.12D.25已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥b，则m的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=√3，则a的值为（）A.√3B.2C.√7D.3函数f(x)=sinxcosx+√3cos²x的单调递减区间为（）A.[kπ-π/12,kπ+5π/12]（k∈Z）B.[kπ+5π/12,kπ+11π/12]（k∈Z）C.[kπ-π/6,kπ+π/3]（k∈Z）D.[kπ+π/3,kπ+5π/6]（k∈Z）已知向量a=(2,-1)，b=(1,λ)，若|a+b|=|a-b|，则λ的值为（）A.2B.-2C.1/2D.-1/2在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则△ABC的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<π/2）的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为（）A.f(x)=2sin(2x+π/3)B.f(x)=2sin(2x-π/3)C.f(x)=2sin(x+π/3)D.f(x)=2sin(x-π/3)某台风中心位于城市O东偏南θ（cosθ=√2/10）方向300km处，以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风影响范围的半径为60km，并以10km/h的速度增大，则城市O开始受台风影响的时间为（）A.12小时后B.10小时后C.8小时后D.6小时后二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在△ABC中，a=5，b=7，c=8，则cosB=__________。函数f(x)=sin(2x-π/6)的对称中心坐标为__________。已知向量a=(3,4)，b=(t,-6)，且a与b的夹角为钝角，则t的取值范围为__________。某港口水深y（米）与时间t（小时，0≤t≤24）的函数关系为y=3sin(π/6t)+10，则该港口一天中水深不小于13米的时长为__________小时。三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知向量a=(cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，且a与b的夹角为60°，求：（1）a·b的值；（2）|a+2b|²的值。解答过程：（1）由向量数量积公式得：a·b=|a||b|cosθ=1×1×cos60°=1/2。（2）|a+2b|²=(a+2b)²=a²+4a·b+4b²=1+4×(1/2)+4×1=1+2+4=7。（12分）在△ABC中，已知a=2√3，b=6，∠A=30°，求∠B、∠C和c。解答过程：由正弦定理得：a/sinA=b/sinB，即(2√3)/sin30°=6/sinB，解得sinB=6×sin30°/(2√3)=6×(1/2)/(2√3)=√3/2，∴∠B=60°或120°。①当∠B=60°时，∠C=180°-30°-60°=90°，由正弦定理得c=a·sinC/sinA=2√3×sin90°/sin30°=2√3×1/(1/2)=4√3。②当∠B=120°时，∠C=180°-30°-120°=30°，由正弦定理得c=a·sinC/sinA=2√3×sin30°/sin30°=2√3。综上，∠B=60°，∠C=90°，c=4√3或∠B=120°，∠C=30°，c=2√3。（12分）已知函数f(x)=sin(2x+π/3)+√3cos²x-√3/2，x∈R。（1）化简f(x)的解析式；（2）求f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。解答过程：（1）f(x)=sin2xcosπ/3+cos2xsinπ/3+√3×(1+cos2x)/2-√3/2=(1/2)sin2x+(√3/2)cos2x+(√3/2+√3/2cos2x)-√3/2=(1/2)sin2x+(√3/2)cos2x+(√3/2)cos2x=(1/2)sin2x+√3cos2x=sin(2x+π/3)。（2）∵x∈[0,π/2]，∴2x+π/3∈[π/3,4π/3]，当2x+π/3=π/2，即x=π/12时，f(x)max=1；当2x+π/3=4π/3，即x=π/2时，f(x)min=sin(4π/3)=-√3/2。（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bcosA=ccosA+acosC。（1）求∠A的大小；（2）若a=√7，b+c=4，求△ABC的面积。解答过程：（1）由正弦定理得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB，∵sinB≠0，∴2cosA=1，即cosA=1/2，又0<A<π，∴A=π/3。（2）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即7=(b+c)²-3bc=16-3bc，解得bc=3，∴S△ABC=(1/2)bcsinA=(1/2)×3×sin(π/3)=3√3/4。（12分）某货船在A处测得灯塔B在北偏东60°方向，距离为40海里，随后货船沿北偏西30°方向航行至C处，此时测得灯塔B在南偏东75°方向，求货船从A到C的航行距离。解答过程：由题意画出示意图，∠BAC=60°+30°=90°，∠ABC=180°-75°-60°=45°，AB=40海里，在△ABC中，由正弦定理得AC/sin∠ABC=AB/sin∠ACB，∠ACB=180°-90°-45°=45°，∴AC=AB·sin∠ABC/sin∠ACB=40×sin45°/sin45°=40海里。（14分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<π/2）的部分图象如图所示，（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数g(x)=f(x+π/12)-√3，求g(x)在区间[0,π]上的单调递增区间。解答过程：（1）由图象知A=2，T=4×(π/3-π/12)=π，∴ω=2π/T=2，又f(π/12)=2sin(2×π/12+φ)=2sin(π/6+φ)=2，∴π/6+φ=π/2+2kπ，解得φ=π/3+2kπ，∵|φ|<π/2，∴φ=π/3，∴f(x)=2sin(2x+π/3)。（2）g(x)=f(x+π/12)-√3=2sin[2(x+π/12)+π/3]-√3=2sin(2x+π/2)-√3=2cos2x-√3，由-π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z），得-π/2+kπ≤x≤kπ（k∈Z），∵x∈[0,π]，∴单调递增区间为[π/2,π]。试卷说明：本试卷满分15