2025年下学期高中数学模块五试卷

2025年下学期高中数学模块五试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))函数(f(x)=\frac{\ln(x-1)}{\sqrt{4-x^2}})的定义域是（）A.((1,2))B.([1,2))C.((1,2])D.([1,2])已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec{b}=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec{b})，则实数(m=)（）A.4B.-4C.±4D.2下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\sinx)C.(f(x)=\lnx)D.(f(x)=e^x-e^{-x})已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，则(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{1}{7})B.(\frac{1}{7})C.-7D.7某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.(12\pi)B.(18\pi)C.(24\pi)D.(36\pi)已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，则(a_7=)（）A.32B.64C.128D.256若直线(l:y=kx+1)与圆(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)两点，且(|AB|=2\sqrt{3})，则(k=)（）A.±1B.±(\frac{\sqrt{3}}{3})C.±(\sqrt{3})D.0函数(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的部分图象如图所示，则(f(x)=)（）A.(2\sin(2x+\frac{\pi}{3}))B.(2\sin(2x-\frac{\pi}{3}))C.(2\sin(x+\frac{\pi}{3}))D.(2\sin(x-\frac{\pi}{3}))已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2)，则函数(f(x))的极大值点是（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的离心率为(\sqrt{3})，则其渐近线方程为（）A.(y=±\sqrt{2}x)B.(y=±\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=±2x)D.(y=±\frac{1}{2}x)已知函数(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\lnx,&x>0,\end{cases})若关于(x)的方程(f(x)=m)有三个不同的实根，则实数(m)的取值范围是（）A.((-1,0))B.((-1,1))C.((0,1))D.((1,+\infty))二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若(\log_2x=3)，则(x=)________。曲线(y=x^3-2x+1)在点((1,0))处的切线方程为________。已知(\triangleABC)的内角(A,B,C)的对边分别为(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，则(c=)________。某学校为了解学生的数学成绩，从高二年级随机抽取100名学生进行调查，得到如图所示的频率分布直方图。若成绩不低于80分的为优秀，则这100名学生中数学成绩优秀的人数为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知数列({a_n})是等差数列，且(a_1=1)，(a_3+a_5=14)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）若数列({b_n})满足(b_n=2^{a_n})，求数列({b_n})的前(n)项和(S_n)。（本小题满分12分）如图，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，侧棱(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)是(BC)的中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求三棱锥(C_1-ADC)的体积。（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产1件甲产品需消耗A原料3kg、B原料2kg，生产1件乙产品需消耗A原料1kg、B原料3kg。每件甲产品的利润为50元，每件乙产品的利润为40元。工厂现有A原料120kg、B原料100kg，且甲产品的产量不超过20件。设生产甲产品(x)件，乙产品(y)件，总利润为(z)元。（1）写出(x,y)满足的线性约束条件；（2）求(z=50x+40y)的最大值。（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左、右焦点分别为(F_1,F_2)，离心率为(\frac{1}{2})，点(P(1,\frac{3}{2}))在椭圆(C)上。（1）求椭圆(C)的方程；（2）过点(F_2)的直线(l)与椭圆(C)交于(A,B)两点，若(\triangleAF_1B)的面积为(\frac{12\sqrt{2}}{7})，求直线(l)的方程。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)，(a\inR)。（1）当(a=1)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(f(x))在(x=1)处取得极大值，求实数(a)的取值范围。（本小题满分12分）在平面直角坐标系(xOy)中，已知抛物线(E:y^2=2px(p>0))的焦点为(F)，过点(F)的直线(l)与抛物线(E)交于(A,B)两点，且(|AB|=8)，(O)为坐标原点。（1）若直线(l)的斜率为1，求抛物线(E)的方程；（2）若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-12)，求直线(l)的方程。参考答案及评分标准一、选择题A2.A3.C4.A5.A6.B7.C8.A9.B10.A11.A12.A二、填空题814.(y=x-1)15.(\sqrt{7})16.30三、解答题（1）设等差数列({a_n})的公差为(d)，由(a_1=1)，(a_3+a_5=14)，得(2a_1+6d=14)，解得(d=2)，所以(a_n=1+2(n-1)=2n-1)。（5分）（2）由（1）知(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\cdot4^n)，所以({b_n})是首项为(2)，公比为(4)的等比数列，故(S_n=\frac{2(4^n-1)}{4-1}=\frac{2}{3}(4^n-1))。（10分）（1）连接(A_1C)交(AC_1)于点(O)，连接(OD)。因为(O,D)分别为(A_1C,BC)的中点，所以(OD\parallelA_1B)。又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，所以(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（6分）（2）因为(AA_1\perp)底面(ABC)，所以(CC_1\perp)底面(ABC)，则(CC_1)为三棱锥(C_1-ADC)的高，且(CC_1=AA_1=2)。又(S_{\triangleADC}=\frac{1}{2}S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times2\times2=1)，所以(V_{C_1-ADC}=\frac{1}{3}S_{\triangleADC}\cdotCC_1=\frac{1}{3}\times1\times2=\frac{2}{3})。（12分）（1）由题意得：[\begin{cases}3x+y\leq120,\2x+3y\leq100,\x\leq20,\x\geq0,y\geq0,\x,y\in\mathbf{N}^*\end{cases}]（6分）（2）作出可行域，当直线(z=50x+40y)过点((20,20))时，(z)取得最大值，(z_{\text{max}}=50\times20+40\times20=1800)元。（12分）（1）由离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2})，得(a=2c)，(b^2=a^2-c^2=3c^2)。将点(P(1,\frac{3}{2}))代入椭圆方程，得(\frac{1}{4c^2}+\frac{9}{4\times3c^2}=1)，解得(c=1)，所以(a=2)，(b=\sqrt{3})，椭圆方程为(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)。（6分）（2）(F_2(1,0))，设直线(l:x=my+1)，联立椭圆方程得((3m^2+4)y^2+6my-9=0)。设(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，则(y_1+y_2=-\frac{6m}{3m^2+4})，(y_1y_2=-\frac{9}{3m^2+4})。(S_{\triangleAF_1B}=\frac{1}{2}\times2c\times|y_1-y_2|=|y_1-y_2|=\frac{12\sqrt{m^2+1}}{3m^2+4}=\frac{12\sqrt{2}}{7})，解得(m=±1)，故直线(l:x±y-1=0)。（12分）（1）当(a=1)时，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)。令(f'(x)=0)，得(x=1)。当(x\in(0,1))时，(f'(x)>0)；当(x\in(1,+\infty))时，(f'(x)<0)，所以(f(x))的单调递增区间为((0,1))，单调递减区间为((1,+\infty))。（6分）（2）(f'(x)=\lnx-2ax+2a)，(f'(1)=0)。令(g(x)=\lnx-2ax+2a)，则(g'(x)=\frac{1}{x}-2a)。若(a\leq0)，则(g'(x)>0)，(g(x))在((0,+\infty))上单调递增，当(x\in(0,1))时，(g(x)<0)；当(x\in(1,+\infty))时，(g(x)>0)，此时(f(x))在(x=1)处取得极小值，不符合题意。若(a>0)，令(g'(x)=0)，得(x=\frac{1}{2a})。当(\frac{1}{2a}>1)，即(0<a<\frac{1}{2})时，(g(x))在((0,1))上单调递增，在((1,\frac{1}{2a}))上单调递减，此时(g(x)<g(1)=0)，(f(x))在(x=1)处取得极大值，符合题意。综上，(a\in(0,\frac{1}{2}))。（12分）（1）抛物线(E)的焦点(