2025年下学期高中数学与头发模拟数学技术试卷

2025年下学期高中数学与头发模拟数学技术试卷一、选择题（每题5分，共60分）在头发模拟的粒子系统中，若每根发丝被抽象为沿曲线运动的质点，其轨迹方程满足(\vec{r}(t)=(t^2,\sint,e^{-t}))，则(t=0)时的速度向量为（）A.(0,0,0)B.(0,1,-1)C.(2,1,-1)D.(0,1,1)某3D建模软件使用B样条函数描述单根头发的几何形状，已知三次B样条曲线的控制顶点为(P_0(0,0))、(P_1(1,2))、(P_2(3,3))、(P_3(4,0))，则参数(u=0.5)处的曲线点坐标为（）A.(2.0,1.875)B.(2.5,2.25)C.(1.5,1.5)D.(3.0,2.0)在头发碰撞检测算法中，子空间粒子密度(\rho)与阻尼系数(d)的关系满足(d=k\cdot\rho^2)（(k)为常数）。若某区域粒子密度从(20,\text{个/mm}^3)增加到(40,\text{个/mm}^3)，则阻尼系数变为原来的（）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍高斯分布在头发建模中用于描述发丝的空间分布，已知某发丝簇的位置分布服从三维高斯分布(N(\mu,\Sigma))，其中(\mu=(0,0,0))，协方差矩阵(\Sigma=\text{diag}(1,4,9))，则该簇发丝在(z)轴方向的离散程度是(x)轴方向的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.无法确定头发运动方程中，单根发丝的弯曲刚度系数(E)与弹性牵引系数(k)的转换关系为(k=\frac{EI}{L^3})（(I)为截面惯性矩，(L)为发丝长度）。若某发丝长度增加一倍，其他参数不变，则弹性牵引系数变为原来的（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{1}{4})C.(\frac{1}{8})D.(\frac{1}{16})在DynamicGrooming插件中，形状键动画通过控制头发粒子的位移实现动态效果。若某粒子的位移函数为(s(t)=3\sin(2t)+4\cos(2t))，则其运动的最大速度为（）A.5B.10C.12D.13StrandDesigner系统采用多尺度放大策略生成头发，已知初始引导发丝为800根，每次放大阶段发丝数量按等比数列增长，经过2次放大后达到12000根，则该等比数列的公比为（）A.(\sqrt{15})B.(\sqrt{10})C.3.87D.15头发渲染中的光照模型需计算漫反射分量(I_d=k_d\cdotI\cdot\cos\theta)（(k_d)为漫反射系数，(I)为入射光强，(\theta)为入射角）。若光线与发丝表面法线夹角从(30^\circ)增大到(60^\circ)，则漫反射分量变为原来的（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{\sqrt{3}}{3})C.(\sqrt{3})D.2倍某虚拟人物头发含(10^5)根发丝，每根发丝用10个质点模拟，若每帧需计算质点间的碰撞forces，且相邻帧计算量按指数规律增长，已知第1帧计算量为(10^6)次运算，则第5帧的运算量为（）A.(10^6\timese^4)B.(10^6\times2^4)C.(10^6\times5^4)D.无法确定在参数方程与极坐标的应用中，头发卷曲轨迹可表示为(\rho=2+\cos\theta)（极坐标），其在直角坐标系下的对称轴方程为（）A.(x=1)B.(x=2)C.(y=1)D.(y=2)头发密度场的梯度计算中，若密度函数(\rho(x,y,z)=x^2y+yz^2)，则在点(1,1,1)处的梯度向量为（）A.(2,2,2)B.(2,3,2)C.(1,2,1)D.(2,1,2)基于神经网络的头发重建中，输入图像分辨率为(256\times256)，经卷积层后特征图尺寸变为(64\times64)，则该卷积层的步长（stride）可能为（）A.2B.4C.8D.16二、填空题（每题5分，共30分）单根头发的B样条曲线方程为(\vec{r}(u)=\sum_{i=0}^3B_{i,3}(u)P_i)，其中(B_{i,3}(u))为三次B样条基函数。当参数(u=0)时，曲线点坐标为__________。头发碰撞监测中，子空间粒子密度(\rho=\frac{N}{V})（(N)为粒子数，(V)为子空间体积）。若某立方体子空间边长为2mm，内含16个粒子，则其密度为__________(\text{个/mm}^3)。3D高斯模型中，发丝方向的概率密度函数为(f(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(\theta-\mu)^2}{2\sigma^2}})。若(\mu=0)，(\sigma=\frac{\pi}{6})，则方向角(\theta\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}])的概率约为__________（保留两位小数）。头发运动的阻尼力公式为(F_d=-d\cdotv)（(v)为速度），若某发丝质点的速度向量为((3,4),\text{m/s})，阻尼系数(d=0.5,\text{N·s/m})，则阻尼力的大小为__________N。GaussianHaircut技术从单目视频重建头发时，若视频帧率为30fps，重建一帧需2分钟，则处理10秒视频的数据量为__________帧。多尺度头发生成中，从800根引导发丝到12000根完整发丝，若每次放大的发丝增长率为(r)，则满足方程(800\timesr^2=12000)，其解为(r=)__________（保留一位小数）。三、解答题（共60分）（12分）某虚拟角色的直发发型采用粒子系统模拟，每根发丝视为长度为(L=0.1,\text{m})的刚体链，由5个质点串联而成（相邻质点间距相等）。已知质点质量(m=1\times10^{-5},\text{kg})，弹性牵引系数(k=10,\text{N/m})，重力加速度(g=10,\text{m/s}^2)。（1）建立质点在竖直方向的平衡方程，求最下端质点的位移；（2）若发丝受到水平风力(F=5\times10^{-4},\text{N})，求质点的水平偏移量（忽略阻尼）。（12分）头发渲染中的光照模型需计算高光分量(I_s=k_s\cdotI\cdot(\vec{n}\cdot\vec{h})^p)，其中(\vec{n})为法线向量，(\vec{h})为半程向量，(p)为高光指数。已知某发丝表面法线(\vec{n}=(0,\cos\theta,\sin\theta))，光线方向(\vec{l}=(0,0,1))，视线方向(\vec{v}=(0,1,0))。（1）求半程向量(\vec{h})；（2）当(\theta=30^\circ)，(p=10)时，计算((\vec{n}\cdot\vec{h})^p)的值（结果保留整数）。（14分）DynamicGrooming插件的形状键动画中，某头发簇的位移函数为(s(t)=A\sin(\omegat+\phi))，已知动画周期(T=0.5,\text{s})，振幅(A=0.02,\text{m})，初始相位(\phi=\frac{\pi}{3})。（1）求位移函数的导数(v(t))（速度）；（2）计算(t=0.1,\text{s})时的加速度大小；（3）若该动画需适配60fps的渲染帧率，求相邻关键帧的时间间隔。（10分）在极坐标与参数方程的应用中，卷发的平面轨迹可表示为(\begin{cases}x=t\cost\y=t\sint\end{cases})（(t\geq0)）。（1）求(t=\pi)时的切线方程；（2）计算(t\in[0,2\pi])时曲线的长度（结果保留一位小数）。（12分）复旦大学StrandDesigner系统的多尺度生成算法中，头发生成分为三个阶段：引导发丝（800根）→中等密度（3000根）→完整发型（12000根）。（1）分别计算相邻阶段的发丝增长率(r_1)（引导→中等）和(r_2)（中等→完整）；（2）若采用等比数列增长模型，求从引导发丝到完整