2025年下学期高中数学与图像压缩技术试卷

2025年下学期高中数学与图像压缩技术试卷一、选择题（每题5分，共60分）数字图像中存在的空间冗余，本质上反映了像素间的哪种数学关系？A.独立性B.相关性C.随机性D.周期性以下哪种图像压缩算法主要依赖傅里叶变换将空域信号转换为频域信号？A.JPEGB.PNGC.GIFD.LZW若某灰度图像的像素灰度值服从正态分布N(128,25)，则其信息熵H的范围是：A.H<6bit/pixelB.6≤H<7bit/pixelC.7≤H<8bit/pixelD.H≥8bit/pixel小波变换在图像压缩中相比傅里叶变换的优势是：A.仅能处理静态图像B.时间-频率局部化能力更强C.计算复杂度更低D.无需量化步骤某256×256像素的RGB图像（每个通道8位），经无损压缩后数据量为150KB，则压缩比约为：A.3:1B.4:1C.5:1D.6:1Huffman编码中，若某符号出现概率为0.5，则其最优码字长度为：A.1bitB.2bitsC.3bitsD.与其他符号概率相关以下哪种现象不属于有损压缩导致的图像失真？A.方块效应B.细节模糊C.色彩偏移D.数据丢失二维离散余弦变换（DCT）的变换核矩阵中，左上角元素对应图像的：A.高频分量B.中频分量C.低频分量D.噪声分量行程编码（RLE）对以下哪种图像压缩效率最高？A.自然风景照B.文字扫描件C.医学CT图像D.遥感卫星图像设某图像子块的DCT系数矩阵为[\begin{bmatrix}100&5&2\3&0&0\1&0&-1\end{bmatrix}]，采用“Z”字形扫描后，非零系数的数量为：A.3B.4C.5D.6人类视觉系统（HVS）对哪种频率分量的敏感度最低？A.0-5HzB.5-20HzC.20-50HzD.>50Hz以下哪种压缩标准同时支持静态图像和视频压缩？A.JPEG2000B.H.265C.MPEG-4D.AVIF二、填空题（每空3分，共30分）图像压缩技术中，删除时间冗余可通过运动估计实现，常见于视频压缩标准如_______。设某图像的灰度概率分布为P(0)=0.4，P(1)=0.6，则其信息熵H=_______bit/pixel（保留两位小数）。JPEG压缩中，量化步骤通过_______矩阵将DCT系数取整，该矩阵的设计依据是_______特性。分形图像压缩的理论基础是_______，其压缩比通常可达_______以上。彩色图像的三种基本冗余类型是：空间冗余、和。算术编码相比Huffman编码的优势是_______，缺点是_______。三、解答题（共60分）（12分）已知8×8图像子块的灰度值矩阵如下（取值范围0-255）：[\begin{bmatrix}128&130&132&134&136&138&140&142\129&131&133&135&137&139&141&143\130&132&134&136&138&140&142&144\131&133&135&137&139&141&143&145\132&134&136&138&140&142&144&146\133&135&137&139&141&143&145&147\134&136&138&140&142&144&146&148\135&137&139&141&143&145&147&149\end{bmatrix}]（1）计算该子块的灰度均值μ和方差σ²；（2）说明为何该子块经DCT变换后高频系数易趋近于零。（15分）某二值图像（像素值0或1）的一行像素序列为：0,0,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0。（1）采用行程编码（RLE）压缩该序列，写出编码结果；（2）若0出现的概率P(0)=0.6，1出现的概率P(1)=0.4，计算Huffman编码的平均码长；（3）比较RLE与Huffman编码对该序列的压缩效率。（18分）结合数学知识分析JPEG压缩算法的关键步骤：（1）简述8×8子块划分的数学依据；（2）推导1D-DCT的变换公式[F(u)=\alpha(u)\sum_{x=0}^{7}f(x)\cos\left(\frac{(2x+1)u\pi}{16}\right)]中α(u)的取值规则；（3）解释量化后为何需要“Z”字形扫描。（15分）某卫星遥感图像分辨率为1024×1024像素，每个像素12位，需通过带宽为2Mbps的信道传输。（1）计算原始图像数据量及无压缩传输时间；（2）若采用压缩比为20:1的有损压缩，求实际传输速率及压缩后图像的大致信噪比（PSNR）范围；（3）列举两种可进一步减少传输时间的数学优化方法。四、综合应用题（共50分）（25分）图像压缩中的数学建模与优化（1）建立图像压缩比CR与信噪比PSNR的关系模型，说明为何二者通常呈负相关；（2）设某图像压缩系统的CR-PSNR曲线为PSNR=40-0.5CR（CR范围5-30），求CR=10时的PSNR值，并判断该图像质量等级（优秀/良好/一般/较差）；（3）若采用率失真优化（RDO）算法，当信道带宽限制CR≤20时，求最大PSNR及对应的量化参数调整策略。（25分）小波变换在医学图像压缩中的应用（1）对比Haar小波与Daubechies小波的变换核函数差异，说明为何后者更适合CT图像压缩；（2）某1024×1024医学图像经5层小波分解后，低频子带尺寸为多少？若仅保留低频子带和前3层高频子带，压缩比约为多少？（3）结合临床诊断需求，设计一种基于感兴趣区域（ROI）的非均匀量化方案，并用数学公式描述量化步长的空间分布。五、证明题（10分）证明：对于任意概率分布{P(x_i)}，Huffman编码的平均码长(\overline{L})满