2025年下学期高中数学北京版试卷

2025年下学期高中数学北京版试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，B={x|log₂(x-1)≥1}，则A∩B=（）A.[1,2]B.[2,3]C.[1,3]D.[2,+∞)复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，则m=（）A.-3B.-1C.1D.3函数f(x)=ln(x²-4x+5)的单调递增区间是（）A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(2,5)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.12πB.16πC.20πD.24π已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=7，S₆=63，则a₇+a₈+a₉=（）A.512B.128C.256D.1024已知双曲线C：x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且过点(2,√6)，则双曲线C的方程为（）A.x²/2-y²/4=1B.x²/4-y²/2=1C.x²/3-y²/6=1D.x²/6-y²/3=1已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.ω=π/2，φ=π/3B.函数f(x)的图像关于直线x=π/3对称C.函数f(x)在区间(-π/12,5π/12)上单调递增D.将函数f(x)的图像向右平移π/6个单位长度，可得到函数y=sin2x的图像二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）二项式(2x-1/x)⁶的展开式中常数项为______。已知tanα=2，则sin2α+cos²α=______。执行如图所示的程序框图，输出的S值为______。已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=______。在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，C=60°，则c=，△ABC的面积为。（第一空2分，第二空3分）已知函数f(x)=x³-3x²+ax+b在x=1处取得极值，且其图像与直线y=3x+2相切，则a=，b=。（第一空2分，第二空3分）三、解答题（共6小题，共80分）（本小题13分）已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x-1。（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1，a=2，b+c=4，求△ABC的面积。（本小题13分）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，点D，E分别是棱BC，B₁C₁的中点。（Ⅰ）求证：DE//平面A₁ABB₁；（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的余弦值。（本小题13分）某学校为了解学生的数学学习情况，从高二年级随机抽取100名学生进行数学成绩测试，得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）估计这100名学生数学成绩的平均数和中位数；（Ⅲ）若从成绩在[80,90)和[90,100]的学生中随机抽取2人，求至少有1人成绩在[90,100]的概率。（本小题14分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(1,√3/2)。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求证：原点O到直线l的距离为定值。（本小题14分）已知函数f(x)=eˣ-ax-1(a∈R)。（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若函数f(x)有两个零点x₁，x₂(x₁<x₂)，求证：x₁+x₂<2lna。（本小题13分）已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1(n∈N*)。（Ⅰ）求数列{aₙ}的通项公式；（Ⅱ）设bₙ=aₙ+1，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ；（Ⅲ）设cₙ=1/(aₙ+1)，求证：数列{cₙ}的前n项和Tₙ<1。参考答案及评分标准一、选择题B2.B3.A4.B5.C6.A7.A8.D二、填空题-16010.111.1012.3/213.√7，3√3/214.0，4三、解答题（Ⅰ）f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，最小正周期T=π，单调递减区间为kπ+π/8,kπ+5π/8；（Ⅱ）S=√3/2（Ⅰ）连接A₁B，证明DE//A₁B即可；（Ⅱ）二面角A₁-DE-B的余弦值为√3/3（Ⅰ）a=0.03；（Ⅱ）平均数73.5，中位数75；（Ⅲ）7/15（Ⅰ）x²/4+y²=1；（Ⅱ）原点O到直线l的距离为2√5/5（Ⅰ）当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；（Ⅱ）证明略（Ⅰ）aₙ=2ⁿ-1；（Ⅱ）Sₙ=2ⁿ⁺¹-n-2；（Ⅲ）证明略试卷分析本试卷严格按照北京市高中数学教学大纲和高考考试说明命制，注重考查基础知识、基本技能和基本数学思想方法，同时兼顾对学生数学能力的考查。试卷结构合理，难度适中，区分度较好，能够有效检测学生的数学学习水平。内容分布代数部分：集合、函数、数列、不等式、复数、排列组合、二项式定理等内容约占60%几何部分：立体几何、解析几何等内容约占30%概率统计部分：约占10%难度分布基础题（难度0.7以上）：约占50%，主要考查基础知识和基本技能中档题（难度0.4-0.7）：约占35%，主要考查知识的综合应用能力难题（难度0.4以下）：约占15%，主要考查学生的创新思维和综合解题能力教学建议加强基础知识的教学，注重概念的理解和应用重视数学思想方法的渗透，培养学生的数学思维能力加强解题规范训练，提高学生的解题能力和应试技巧关注学生的个体差异，实施分层教学，促进全体学生的发展本试卷通过精心设计的试题，全面考查了学生的数学素养和学习能力，对高中数学教学具有良好的导向作用。教师在使用本试卷时，应结合学生的答题情况，及时调整教学策略，提高教学效果。同时，学生也可通过本试卷进行自我检测，找出学习中的薄弱环节，有针对性地进行复习和提高。在今后的教学中，建议教师继续加强基础知识的教学，注重培养学生的数学思维能力和创新意识，引导学生关注数学与生活的联系，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。同时，要加强对新课程标准的研究，准确把握教学要求，提高教学的针对性和有效性。对于学生而言，要注重基础知识的积累和基本技能的训练，养成良好的学习习惯，掌握科学的学习方法。在学习过