2025年下学期高中数学高性能计算技术试卷

2025年下学期高中数学高性能计算技术试卷一、选择题（每题5分，共60分）在并行计算体系结构中，以下哪种组件不属于异构计算系统的核心构成部分？A.多核CPUB.GPGPUC.高速缓存（Cache）D.机械硬盘已知某并行算法的加速比公式为(S=\frac{T_1}{T_n})，其中(T_1)为单核执行时间，(T_n)为n核并行执行时间。若某程序在8核处理器上实现了6倍加速，则其并行效率为：A.50%B.75%C.80%D.90%以下关于科学计算中数值稳定性的描述，正确的是：A.数值不稳定的算法会导致计算结果随迭代次数增加而无限增大B.龙格-库塔法比欧拉法的数值稳定性更差C.病态矩阵求解问题中，舍入误差会被显著放大D.双精度浮点数（64位）可完全消除数值计算误差在GPU并行编程中，线程块（Block）与线程束（Warp）的关系是：A.一个线程块包含多个线程束，线程束内线程并行执行B.一个线程束包含多个线程块，线程块内线程串行执行C.线程块与线程束为同级概念，可独立调度D.线程块大小必须是线程束大小的整数倍某数学建模问题需对100万组数据进行快速傅里叶变换（FFT），已知串行计算时间为20秒，若采用4核CPU并行计算，且忽略通信开销，理论最小计算时间为：A.5秒B.10秒C.15秒D.无法确定以下哪种算法不适合通过并行计算提升效率？A.矩阵乘法（(n\timesn)矩阵）B.蒙特卡洛模拟（随机抽样计算π值）C.递归斐波那契数列计算（无重叠子问题）D.图像卷积滤波（像素点独立计算）在数值分析中，用牛顿-拉夫逊法求解方程(f(x)=x^3-2x-5=0)在区间[2,3]的根，若初始值(x_0=2)，则第一次迭代结果(x_1)为：A.2.0B.2.1C.2.2D.2.3高性能计算中，"阿姆达尔定律"主要用于描述：A.并行计算的最大加速比上限B.CPU与GPU的性能差异C.存储带宽对计算效率的影响D.算法复杂度与数据规模的关系某并行程序在16核处理器上的加速比为8，则其串行部分占比为：A.6.25%B.12.5%C.25%D.50%在CUDA编程模型中，以下哪个概念对应GPU上的线程调度基本单位？A.GridB.BlockC.WarpD.Thread用二分法求解方程(f(x)=e^x-x-2=0)在区间[1,2]的根，若要求精度达到0.01，则至少需要迭代的次数为：A.6次B.7次C.8次D.9次以下关于数值积分的说法，错误的是：A.辛普森法则的精度通常高于矩形法则B.自适应积分算法可根据函数变化动态调整区间划分C.当积分区间无限时，必须采用数值方法求解D.蒙特卡洛积分的误差与样本数量的平方根成反比二、填空题（每空3分，共30分）高性能计算系统中，CPU与GPU的异构架构通过__________技术实现内存数据共享。数值计算中，为避免"大数吃小数"现象，应采用__________的运算顺序。并行计算的两种基本编程模型是__________和消息传递模型。已知某算法的时间复杂度为(O(n^3))，当数据规模扩大为原来的2倍时，串行计算时间将变为原来的__________倍。在科学计算中，常通过__________将连续数学问题转化为离散代数方程组求解。GPU的__________架构使其适合处理单指令多数据（SIMD）类型的并行任务。数值微分中，向前差分公式(f'(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h})的截断误差阶数为__________。某并行程序的加速比为4，效率为0.5，则其使用的处理器核心数为__________。用高斯消元法求解线性方程组时，若系数矩阵为__________，则可能出现数值不稳定问题。高性能计算领域的TOP500榜单主要依据__________基准测试程序的性能对超级计算机进行排名。三、解答题（共60分）（15分）某气象模拟程序需对1024×1024网格的温度场进行迭代计算，每个网格点的更新依赖其上下左右四个相邻点（即5点模板）。已知单核CPU计算单步迭代时间为8秒，且通信开销占并行计算时间的20%。（1）若采用4×4核的二维网格划分并行计算，求单步迭代的并行加速比；（2）若要实现至少10倍的加速比，理论上最少需要多少个处理器核心？（15分）用牛顿法求解非线性方程组：[\begin{cases}x^2+y^2=25\x-y=1\end{cases}]取初始点((x_0,y_0)=(3,2))，完成第一次迭代计算（要求写出雅可比矩阵及迭代公式）。（15分）某深度学习模型训练过程包含两个阶段：特征提取（串行部分，占比20%）和参数优化（并行部分，占比80%）。（1）根据阿姆达尔定律，计算使用100核处理器时的最大加速比；（2）若采用GPU加速并行部分，使并行部分速度提升为原来的200倍，求此时的整体加速比。（15分）设计一个基于OpenMP的并行算法，计算定积分(I=\int_0^\pi\sin(x)dx)。要求：（1）写出串行算法的数值积分公式（采用梯形法则，区间等分为n段）；（2）使用parallelfor指令实现并行化，并分析其负载均衡性；（3）若n=1000000，单核计算时间为0.1秒，忽略并行开销时，8核CPU的计算时间约为多少？四、编程应用题（共100分）（50分）在高性能计算中，矩阵乘法是典型的计算密集型任务。已知矩阵(A)（(m\timesk)）和矩阵(B)（(k\timesn)），其乘积(C=A\timesB)的元素计算公式为(C_{i,j}=\sum_{p=1}^kA_{i,p}\timesB_{p,j})。（1）设计一个基于CPU多核的并行矩阵乘法算法，要求采用行块划分策略，并写出核心伪代码；（2）若矩阵规模为2048×2048，单核计算时间为1024秒，且并行效率为0.8，求32核CPU的计算时间及加速比；（3）分析该算法在GPU上实现时，相比CPU的优势与挑战。（50分）蒙特卡洛方法是科学计算中常用的随机模拟技术。现需用蒙特卡洛法计算圆周率π的近似值，基本原理为：在边长为2的正方形内随机投点，落入半径为1的四分之一圆内的点数与总投点数之比近似为π/4。（1）写出串行算法的伪代码；（2）使用MPI消息传递接口设计并行算法，要求主进程负责任务分配与结果汇总，从进程负责独立投点计算，写出核心通信步骤；（3）若总投点数为10^8，单核计算时间为10秒，采用8进程并行计算且通信时间为0.5秒，求并行效率及加速比。五、证明题（共20分）设(f(x))在区间[a,b]上具有二阶连续导数，证明